1r ciclo Por qué la constante de estructura fina denota la intensidad de la fuerza electromagnética.

[Alriga]

a) Cuando leemos sobre la constante de estructura fina, (por ejemplo en la Wikipedia) la presentan como:

una constante física fundamental que cuantifica la fuerza de la interacción electromagnética entre partículas cargadas

Pero no he sido capaz de encontrar ninguna explicación “para mi abuela” en la que se demuestre que eso es así, por lo que me he dedicado a elaborar una a ver qué os parece. Partimos de la expresión de la fuerza eléctrica dada por la Ley de Coulomb:

$F_e=\dfrac 1{4\pi \varepsilon_0} \ \dfrac{q_1 q_2}{r^2}$

Sabemos que las cargas $q_1$ y $q_2$ deberán ser múltiplos de la carga elemental, por lo tanto las podemos escribir:

$q_1=c_1 \ e$

$q_2=c_2 \ e$

Sustituyendo:

$F_e=\dfrac{e^2}{4\pi \varepsilon_0} \ \dfrac{c_1 c_2}{r^2}$

El factor

$$\dfrac{e^2}{4\pi \varepsilon_0}$$

es una constante independiente de las dos cargas totales y de la distancia entre ellas del problema que estemos considerando, y contra mayor sea esa constante, mayor será la fuerza eléctrica. Se trata de una constante con dimensiones, veamos cuales son:

$[\varepsilon_0]=M^{-1} L^{-3} T^4 I^2$

$[e]=T I$

$\left [ \dfrac{e^2}{4\pi \varepsilon_0} \right ] =T^2 I^2 M L^3 T^{-4} I^{-2}$

$\left [ \dfrac{e^2}{4\pi \varepsilon_0} \right ] =M L^3 T^{-2}$ (J·m)

¿Cómo podemos convertir esta constante en adimensional? Pues dividiéndola por alguna combinación de constantes universales de las mismas dimensiones. Veamos:

$[\hbar]=M L^2 T^{-1}$

$[c]=L T^{-1}$

Si las multiplicamos:

$[\hbar c ]=M L^3 T^{-2}$ (J·m)

Observamos que son las mismas dimensiones que las de la constante (1) que estamos estudiando.

La constante (1) expresada en cantidades $\hbar c$ será por lo tanto una constante adimensional, la constante de estructura fina que denota la intensidad de la interacción electromagnética:

$$\alpha=\dfrac{e^2}{4\pi \varepsilon_0 \hbar c}$$

Poniendo valores y haciendo operaciones:

$\alpha=0.007297$ (adimensional)


b) ¿Podemos hacer algo similar con la interacción gravitatoria?

$F_g=G \ \dfrac{m_1 m_2}{r^2}$

El problema que aquí tenemos es que no existe una “masa elemental” clara, como sí existía una “carga elemental” clara en el caso anterior. Lo más parecido que se nos ocurre es utilizar como “unidad de masa” la del barión más ligero que es el protón, ya que la masa "se acumula" agrupando bariones. Entonces podemos escribir:

$m_1=c_3 \ m_p$

$m_2=c_4 \ m_p$

Sustituyendo:

$F_g=G \ m_p^2 \ \dfrac{c_3 c_4}{r^2}$

El factor

$$G \ m_p^2$$

es una constante independiente de las dos masas totales y de la distancia entre ellas del problema que estemos considerando, y contra mayor sea esa constante, mayor será la fuerza gravitatoria. Se trata de una constante con dimensiones, veamos cuales son:

$[G]=M^{-1} L^3 T^{-2}$

$[G \ m_p^2] = M L^3 T^{-2}$ (J·m)

Ahora la constante (2) expresada en cantidades $\hbar c$ será también una constante adimensional. No sé si tiene nombre o símbolo oficial, yo la voy a llamar $K_G$ porque denota la intensidad de la interacción gravitacional:

$$K_G=\dfrac{G \ m_p^2}{\hbar c}$$

Poniendo valores y haciendo operaciones:

$K_G=5.9061 \cdot 10^{-39}$ (adimensional)

Si comparamos la intensidad de la interacción electromagnética con la intensidad de la interacción gravitacional por comparación de sus constantes adimensionales:

$\dfrac{\alpha}{K_G}=1.2\cdot 10^{36}$

Por eso se suele decir que la fuerza electromagnética es treinta y seis órdenes de magnitud más intensa que la fuerza gravitatoria.

¿Qué os parece? Saludos.

[carroza]

Gracias, Alriga.

Interesante y útil para el foro.

Un par de comentarios, para sacar más jugo al asunto.

- El argumento es algo "protoncéntrico". ¿por qué tomar como referencia el protón? Podríamos haber tomado como referencia el electrón, que es (salvo neutrinos), la partícula estable más ligera. O el quark, que es elemental (aunque no sabemos de forma muy precisa su masa). O las particulas de materia oscura, que, aunque no conozcamos su masa, son las que componen la mayor parte de la "materia" del universo.

- Hay una razón por la que la carga está cuantizada y la masa no. La carga, y el electromagnetismo, tienen su origen en el invariante de las transformaciones de un grupo compacto U(1). La masa tiene su origen en el invariante de las transformaciones de un grupo no compacto, el grupo de Lorentz SO(3,1). Alguna vez hemos hablado de esto en el foro.


- $\hbar c / G$ tiene dimensiones de masa al cuadrado, y corresponde, precisamente, a la masa de Planck al cuadrado $M_p^2$. Por tanto, tu constante $K_G = {m_p^2 \over M_p^2}$

Un saludo

[javisot20]

O bosones vectoriales ajustando su masa,
¿ qué valor de masa elemental de estos hipotéticos bosones vectoriales se necesitaría para tener $\alpha=K_G$?


Muy interesante el desarrollo Alriga, gracias.

[Alriga]

Un par de comentarios, para sacar más jugo al asunto.

- El argumento es algo "protoncéntrico". ¿por qué tomar como referencia el protón? Podríamos haber tomado como referencia el electrón, que es (salvo neutrinos), la partícula estable más ligera. O el quark, que es elemental (aunque no sabemos de forma muy precisa su masa). O las particulas de materia oscura, que, aunque no conozcamos su masa, son las que componen la mayor parte de la "materia" del universo.

- Hay una razón por la que la carga está cuantizada y la masa no. La carga, y el electromagnetismo, tienen su origen en el invariante de las transformaciones de un grupo compacto U(1). La masa tiene su origen en el invariante de las transformaciones de un grupo no compacto, el grupo de Lorentz SO(3,1). Alguna vez hemos hablado de esto en el foro.

- $\hbar c / G$ tiene dimensiones de masa al cuadrado, y corresponde, precisamente, a la masa de Planck al cuadrado $M_p^2$. Por tanto, tu constante $K_G = {m_p^2 \over M_p^2}$

Gracias por tu aporte carroza, estoy contento de que no hayas encontrado ningún error crítico en el apartado (a) que es lo que realmente me interesa.

La crítica de “protocéntrico” del apartado (b) evidentemente se acepta. Si en vez de comparar el ratio fuerza electromagnética/fuerza gravitacional entre 2 protones obteniendo 1.2E+36, lo hubiese hecho entre 2 electrones, hubiese obtenido 4.2E+42

Por eso decía que no existe una “masa elemental” clara, como sí existía una “carga elemental” clara en el caso anterior. Y que lo más parecido que se me ocurría es utilizar como “unidad de masa” la del barión más ligero que es el protón, ya que la masa "se acumula" agrupando bariones, no hay (que yo sepa) grandes acumulaciones de masa formada por leptones en el universo.

Saludos.

[carroza]

Hola. Ningún problema con el apartado a). Si me apuras, estás describiendo los números que cualquier físico debería conocer de memoria, sin mirar tablas:

${e^2 \over 4 \pi \epsilon_0} = 1.440$ MeV fm.
$\hbar c = 197.3$ MeV fm.

Tu argumento ha pasado de "protoncéntrico" a "barioncéntrico": De la misma manera que no hay grandes acumulaciones de masa formadas sólo por leptones, tampoco hay grandes cantidades de masa formadas sólo por bariones. Necesitas ambos para tener materia neutra (a no ser que te fijes en estrellas de neutrones, que tampoco hay tantas).

Saludos

[Alriga]

OK carroza, tienes razón en todo: lo más sensato sería decir que no hay una comparación inequívoca posible entre la interacción electromagnética respecto de la gravitatoria, ya que si hacemos la comparación entre 2 protones se obtienen 36 órdenes de magnitud y si se hace la comparación entre 2 electrones se obtienen 42 órdenes de magnitud y tema cerrado.

Tu argumento ha pasado de "protoncéntrico" a "barioncéntrico": De la misma manera que no hay grandes acumulaciones de masa formadas sólo por leptones, tampoco hay grandes cantidades de masa formadas sólo por bariones. Necesitas ambos para tener materia neutra (a no ser que te fijes en estrellas de neutrones, que tampoco hay tantas).

Sí lo sé y tienes razón, pero tengo un argumento (aunque reconozco que débil) para estimar la masa de un cuerpo ordinario contando exclusivamente el número de bariones y multiplicando esa cifra por la masa del protón, intento explicarme: cada elemento del universo tiene un número de protones fijo y también un número de “neutrones en promedio” fijo.

He cogido una muestra (creo que bastante representativa) de elementos de la tabla periódica: a partir de su masa atómica y del número de Avogadro he calculado la masa promedio en kilogramos de 1 átomo de ese elemento (columna 3 de la tabla)

A continuación, he realizado una estimación de esa masa contando el número de bariones promedio y multiplicando esa cifra por la masa del protón (columna 7) Y como se ve en la columna 8, el error relativo cometido es del orden del 1% o menor, por lo tanto en muchos casos es una buena estimación.

Por eso digo que, en general una buena estimación de la masa de una concentración arbitraria de materia ordinaria en el universo solerá poderse hacer contando su número de bariones y multiplicando por la masa del protón.

Y ahora podéis decirme ¿y por qué no usar en la estimación de esa tabla como masa bariónica unitaria la del neutrón en vez de la del protón? Correcto, puede usarse, lo que sucede es que es peor estimador que el protón es decir, que si hacemos la estimación mediante la masa del neutrón y calculamos el error relativo, se obtiene que éste es superior al cometido utilizando la masa del protón.

Como dato anecdótico recordad que los cosmólogos, a la materia ordinaria (no oscura) la llaman peyorativamente “materia bariónica” despreciando en su subconsciente la contribución de los leptones fríos a la materia ordinaria del universo. (Los neutrinos los cuentan como radiación al igual que los fotones, “hot matter”)

Saludos.

[carroza]

Ok, Alriga. Gracias por seguir el juego. Déjame que te haga una penúltima acusación: "MeVcentrico".

Me explico: Todas las estimaciones que haces de la masa de la materia, como proporcional al número bariónico, presuponen que la temperatura es baja, como máximo de algunos MeV. A temperaturas más altas, de GeV, la materia sería un plasma quark-gluón, con lo que la masa (la energía en reposo) estaría muy poco correlacionada con el número bariónico.

Puedes decirme que esto es lo que ocurre en el universo presente, pero entonces te llamaría "Presente-céntrico", pues no deberíamos desdeñar lo que ocurrió en los primeros instantes del universo, antes de la bariogénesis.

Bueno, todos estos argumentos están relacionadoas con el concepto de "Antropocéntrico", que es algo que deberíamos evitar, a la hora de entender la física fundamental. Que algo esté más cercano a nuestra experiencia habitual no es argumento para que sea más correcto, en física fundamental.

Un ultimo comentario: Una hipotesis, digna de estudio experimental, es si una interacción de largo alcance, análoga a la gravedad, pudiera depender de una propiedad como el número bariónico, en lugar de depender estrictamente de la masa. Eso llevaría a pequeñas diferencias entre la masa inercial y la masa gravitatoria de objetos, dependiendo de su composición quimica detallada, ya que, como muestras en tu tabla, la masa no es estrictamente proporcional al número bariónico.

Hay experimentos sobre esto, realizados en satélites, y creo que tú mismo los citaste alguna vez.

Un saludo

[javisot20]

¿ Como se elimina el antropocentrismo de nuestros análisis ?

Tal y como lo planteáis parece que se debería calcular los ordenes de magnitud de diferencia entre a y kg desde todos los "centrismos" y argumentos posibles para luego hacer media.

¿ Lo que comentas al final Carroza es una manera indirecta (no centrista)de poder calcularlo ?

[carroza]

https://forum.lawebdefisica.com/foru...e-equivalencia

Este es el enlace de Alriga al que me refería, que mide con precisión la diferencia entre masa inercial y masa gravitatoria, relacionada con que la fuerza de la gravedad depende de la masa, y no del numero barionico.

Con respecto al "antropocentrismo", es una de las razones para tomar las unidades de medida (metro, segundo, Julio) a partir de asignar valores fijos a las constantes fundamentales, en lugar de a partir de una barra de platino iridiado, o un cilindro que están en Paris.

Un saludo