Otras carreras Complementariedad en las propiedades de las partículas

[Pola]

Buenos días.

Tengo una pregunta que igual no tiene sentido, pero ahí va:

Cuando uno piensa en el Principio de Incertidumbre de Heissemberg, se encuentra viene a decir que la incertidumbre en la posición por la incertidumbre en el momento no puede ser inferior a cierto número.

Eso parece indicar que las dos propiedades -posición y momento - son complementarias de cara a definir el estado de una partícula.

Lo que no entiendo es cuál es la naturaleza ni la causa de esa complementariedad.

Igual hay alguna razón que los físicos sabéis.

Hacía mucho tiempo, que no preguntaba. Un saludo a todos

[guibix]

Hola Pola,

Para entender esto hay que verlo des del punto de vista ondulatorio. Si tienes una función de onda (cuántica o no) como función del tiempo (como una onda de sonido por ejemplo), le aplicamos la transformada de Fourier y obtenemos una función que depende de las frecuencias que nos dice cuanto participa cada frecuencia en la onda original.

Pues en cuántica, si la función de onda de una partícula describe cuan probable es que ésta se encuentre en cada sitio, su transformada de Fourier nos dice qué momentos lineales participan de su movimiento. Si observamos una onda pura (seno o coseno) ésa se extiende por todo el espacio (la partícula puede estar en cualquier parte), pero su transformada de Fourier es un solo pico en el espacio de momentos. Tenemos que una determinación absoluta del momento lineal es una indeterminación absoluta en la posición. Lo mismo ocurre al revés: una onda que sea un pulso concentrado nos da una determinación muy precisa de su posición (estará en algún lugar dentro del pulso), pero su transformada de Fourier nos dará un momento muy disperso. Si "comprimes" la posición, el momento se "expande" y viceversa.

Si haces los números te das cuenta que el producto de las indeterminaciones no puede ser mayor que cierto número.

También se puede entender mirando el espacio de fase (combinación entre posición y momento) en donde una partícula ocupa una región de dicho espacio. Esta región ocupa un hiper-volumen mínimo que no puede ser inferior a cierto valor.

Un saludo.

[Pola]

Pues gracias, Guibix.

Si me permites otra pregunta.

Esa transformada de Fourier, ¿da también otras carctrísticas (spin,....) o sólo el momento lineal?

Si las da, ¿serían tambien complementarias con la posición?

[guibix]

No exactamente. Se puede aplicar la transformada de Fourier a cualquier función que quieras imaginar pero no siempre tendrá un significado físico.

No sé mucho de cuántica y puedo estar errado, pero para que un par de observables cumplan el principio de indeterminación su producto tiene que dar unidades de momento angular, unidades de $\hbar$ y depende de como se describa la función de onda.

Si por ejemplo la función de onda solo depende la posición, su transformada de Fourier será el momento lineal. Como el el producto del par posición-momento da unidades de $\hbar,$ entonces se cumple el principio de indeterminación entre ellos.

Si la función de onda depende del tiempo, su transformada nos da un espectro de energías y las unidades de tiempo por energía también da unidades de $\hbar.$ En consecuencia, el par tiempo-energía también está sujeto al principio de indeterminación.

No conozco otros pares. Supongo que debe de haberlos pero aquí ya no llego. El par al que le correspondería el espín sería de posición angular, aunque no sé si eso tiene sentido.

Un saludo.

[Pola]

Pues gracias de nuevo por tus aclaraciones, Guibix.

Es bien curioso que exista complementariedad entre posición - momento y entre energía - tiempo.Me gustaría saber si hay otros pares o si no.

Lo del spin lo dije a boleo, es una de las pocas características que conozco de una partícula.

Gracias de nuevo y otro saludo para ti.

[guibix]

Buenas de nuevo,

Es bien curioso que exista complementariedad entre posición - momento y entre energía - tiempo.

El Principio de Indeterminación de Heisenberg (PIH) es curioso por si mismo y cuesta entenderlo adecuadamente.

La incertidumbre entre energía y tiempo es un poco difícil de entender y lo de la transformada de Fourier es la mejor forma de entenderlo para mi. Pero para la incertidumbre entre posición y momento se puede entender con alguna analogía.

Existe una explicación muy extendida (aunque no del todo correcta) donde se explica lo de que para medir una posición con mucha precisión, se necesita luz con una longitud de onda muy pequeña. Eso hace que la partícula medida absorba más energía cuanto menor sea la longitud de onda y esto altera su momento de manera imprevisible. Si uso luz con longitud de onda larga, alteramos poco su momento pero no no podemos determinar con precisión donde está. Esta explicación no es la definición del PIH aunque alguna gente lo afirme así. Lo que sí es, es una consecuencia de éste.

Una analogía no cuántica para la indeterminación entre posición y momento, y para entender porque son estas dos observables, es mediante un pequeño experimento mental:

Supongamos que tienes que medir la velocidad y posición de un objeto mediante una sola foto y solo puedes elegir la velocidad de obturación de la foto.

Si le das una exposición corta, podrás saber con precisión donde está el objeto pero no tienes información suficiente de su velocidad porqué se ve completamente "congelado".

Si eliges una exposición larga, tendrás mucha información sobre la velocidad media del objeto durante el tiempo de exposición. Pero la imagen estará movida y no se podrá determinar dónde está el objeto durante la exposición.

Esta analogía, realmente no tiene nada que ver con el PIH pero sí ayuda a entender en parte porqué éstos dos observables son complementarios.

Un saludo!

[Pola]

Gracias de nuevo, Guibix.

Me llama la atención que entre la cantidad de parámetros que explican las carcteristicas de una partícula - onda, sean precisamente esas cuatro las que son complementarias.

Aunque la física nunca explica los "porqués" a uno se le viene siempre esa pregunta a la cabeza y se queda con las ganas de saberlo.

Un saludo

[carroza]

Pues gracias de nuevo por tus aclaraciones, Guibix.

Es bien curioso que exista complementariedad entre posición - momento y entre energía - tiempo.Me gustaría saber si hay otros pares o si no.

Lo del spin lo dije a boleo, es una de las pocas características que conozco de una partícula.

Gracias de nuevo y otro saludo para ti.

Hola.

Pues sí, hay muchos pares análogos a posición-momento.

Es bueno recordar nuestra querida mecánica clásica. En ella, puede desrcirbirse cualquier sistema en base a unas coordenadas generalizadas $q$, y sus velocidades $\dot q$. A partir de ellas, si se conoce el lagrangiano $L(q, \dot q)$, pueden obtenerse las ecuaciones de movimiento, mediante las ecuaciones de Euler Lagrange.

Por otro lado, conociendo el lagrangiano, puede obtenerse el momento $p = \partial L(q, \dot q) / \partial \dot q$, Con el momento $p$ y la coordenada $q$, puede construirse el hamiltoniano $H(p, q)$, que nos da otra forma de obtener las ecuaciones de movimiento, por las ecuaciones de Hamilton.

Bueno, pues tras este breve recordatorio de mecánica clásica, vamos a la cuántica. Si tenemos una variable $q$, que puede ser una posición, un ángulo, un campo, etc, y obtenemos, a partior del lagrangiano, su momento asociado $p$, pues entonces , al pasar a mecánica cuántica, $p$ y $q$ pasan a ser variables que no conmutan y que cumplen
$[q, p] = i \hbar$. Por tanto, q y p cumpren el principio de incertidumbre, y no pueden ser determinadas a la vez.

Estos pares de variables pueden ser la posición (una coordenada cualquiera, (x, y, o z), y su momento lineasl correspondiente ($p_x, p_y, p_z)$. Pueden ser un angulo de rotación en torno a un eje $\phi_z$, y el momento angular correspondiente $L_z$. Y muchas otros pares de variables, que sería prolijo mencionar.

Un saludo

[Pola]

Pues agradecido, Carroza. La verdad es que no soy capaz de entender la primera parte de tu respuesta. Paro el final aclara mis dudas. Gracias.
Un saludo

[javisot20]

Saludos pola, tanto tiempo.

Aunque la física nunca explica los "porqués" a uno se le viene siempre esa pregunta a la cabeza y se queda con las ganas de saberlo.
Un saludo

En este caso existe explicación, tiene que ver con este párrafo exacto de carroza,

Bueno, pues tras este breve recordatorio de mecánica clásica, vamos a la cuántica. Si tenemos una variable $q$, que puede ser una posición, un ángulo, un campo, etc, y obtenemos, a partior del lagrangiano, su momento asociado $p$, pues entonces , al pasar a mecánica cuántica, $p$ y $q$ pasan a ser variables que no conmutan y que cumplen
$[q, p] = i \hbar$. Por tanto, q y p cumpren el principio de incertidumbre, y no pueden ser determinadas a la vez.

Es necesario preguntar, ¿por qué al pasar a mecánica cuántica tales variables no conmutan y en cambio otros pares de variables si conmutan?

"No conmutar" quiere decir que el orden en el que se mide (por ejemplo) la posición y el momento de una partícula afectará los resultados de las mediciones, por contra, "conmutar" quiere decir que el orden no afectará al resultado, a groso modo.

No hace falta memorizar los pares de variables que conmutan y aquellos que no lo hacen, es más económico memorizar el requisito para conmutar o no hacerlo además de añadir un cierto conocimiento sobre la naturaleza de las variables de manera aislada, con eso se dudece el resto. Saludos

[Pola]

Pues gracias por tus aclaraciones, Javisot20. Se me había olvidado el significado de "conmutar". Un saludo
Queda pendiente la respuesta a la pregunta que haces en el primer párrafo....

[javisot20]

Queda pendiente la respuesta a la pregunta que haces en el primer párrafo....

Ya la dí Pola,

"No conmutar" quiere decir que el orden en el que se mide (por ejemplo) la posición y el momento de una partícula afectará los resultados de las mediciones, por contra, "conmutar" quiere decir que el orden no afectará al resultado, a groso modo.

En mecánica cuántica, por la naturaleza de las variables, habrá pares de variables que conmuten y otros que no. Recuerdo que Pod dió una genial explicación sobre esto en tu hilo https://forum.lawebdefisica.com/foru...ulas-virtuales,

Un matiz: en cuántica no tenemos variables estadísticas. Tenemos variables probabilísticas. Nosotros somos capaces de calcular la distribución de probabilidad de que ocurran determinados procesos, y a partir de ahí realizar cálculos de diferentes propiedades probabilísticas de las diferentes variables.

Este es un punto de vista diametralmente opuesto a la estadística. La estadística es una disciplina matemática que opera con la suposición que detrás de determinado fenómeno existe una distribución de probabilidad, pero nosotros no la conocemos. Haciendo experimentos, la estadística es capaz de inferir características de esa distribución de probabilidad desconocida. Esto no es lo que tenemos en cuántica. Como he dicho recién, la cuántica nos da herramientas para calcular la distribución de probabilidad de cualquier variable a partir de conocer el estado cuántico de un sistema; así que en este sentido no necesitamos hacer estadística puesto que ya tenemos la distribución de probabilidad, y ésta nos lo da todo.

Otra cosa es que no sepamos en qué estado se encuentra un sistema determinado, y entonces si que podamos usar estadística para inferior detalles de la distribución de probabilidad. Y, a partir de ello, conocer características del estado cuántico del sistema. Por ejemplo, la ley de los grandes números nos dice que si repetimos muchísimas veces una misma medida en sistemas que se encuentran en el mismo estado cuántico, entonces la media de las medidas convergirá con el valor esperado (que es un concepto probabilístico).

Con esto, quiero decir que el hecho de que $\Delta X$ sea la desviación estándar no es una interpretación. Es una definición.




X es cualquier variable. En este caso, vale para la energía y para el tiempo, pero puede valer para cualquier otra.

Fíjate que existen dos tipos de relaciones de incertidumbre. En este hilo te has centrado en la de energía y tiempo. Esta es una relación un tanto peculiar en el sentido de que el tiempo no es un observable en mecánica cuántica (por lo menos, en la no relativista). Su justificación, creo, viene más de disquisiciones similares a la de la primera parte de mi mensaje. También se puede justificar a partir de las propiedades de la transformación de Fourier.

La otra relación de incertidumbre más conocida es la del momento y la posición. Esta otra relación, en realidad, es un caso particular de un teorema matemático que se aplica a cualquier par de observables. Como el hilo está marcado como "otras carreras" no voy a entrar en la formulación exacta del teorema (está en la wikipedia y en alguna otra página de ésta web). En resumen, lo que hace es decirnos que, dados dos observables A y B, entonces hay una formula para calcular el valor mínimo de sus desviaciones estándares, que escribimos como $\Delta A$ y $\Delta B$ (o, a veces, $\sigma_A$ y $\sigma_B$).

Fíjate que es enteramente posible que esta formulita de cero. En este caso, $\Delta A\ \Delta B \ge 0$. Así, pues, en este caso seria enteramente posible hacer que ambas desviaciones sean tan pequeñas como queramos, de forma simultánea. Diríamos que A y B son observables compatibles.

Esta forma del principio de incertidumbre, como he dicho, es un teorema que aplica a cualquier par de observables. No es aplicable la relación energía-tiempo que estamos tratando porque, como dije, el tiempo no es un observable en mecánica cuántica.

[Pola]

Gracias, Javisot. No estoy seguro de haber entendido la idea que Pod quiere transmitir. Pero agradezco igualmente la respuesta.
Un saludo.