Energía interna de un campo escalar.

[leo_ro]

Hola a todos.

He estado leyendo teoría cuántica de campos en forma inicial y autodidáctica y me encuentro con el siguiente langrangiano.

Dado un campo escalar $\Phi$, el langrangiano del campo se define como:

$L (\Phi, {\partial}_{u} \Phi)= \frac{1}{2} ({\partial}_{\mu}{\Phi}^{u} {\partial}^{\mu} {\Phi}_{u} - {m}^{2} \Phi)$

Entiendo el término $({\partial}_{\mu}{\Phi}^{u} {\partial}^{\mu} {\Phi}_{u}$ es análogo a la energía cinética. Pero no entiendo el segundo término. Sin lugar a dudas el termino debe ser ser igual a la energía potencial.

¿Por qué ${m}^{2} \Phi$es igual a la densidad de energía potencial del campo? ¿Es decir, por qué la masa es igual a la energía potencial? En realidad, este término está relacionado con la densidad de energía potencial del campo,

¿Podemos interpretar la masa como la densidad de energía para llevar al campo a ese estado? Haciendo una analogía con que la masa es igual a la energía interna de un cuerpo. A mayor energía interna, mayor masa.

[IvanZ]

Hola! El termino segundo no es $m^2\Phi$, es $m^2\Phi^2$. Y $m^2\Phi^2$ no es densidad de energia potencial.

En mecanica cuantica tenemos $S=\int L*dt$, entonces S=[energia*tiempo]. Pero en QFT $S=\int L*d^4x$ es adimensional(se puede encontrarlo en libro Peskin, Schroeder). En unidades naturales (h=c=1): $dx=[m^{-1}]$ => $L=[m^4]$.

$E=mc^2$ o en unidades naturales $E=m$. Masa es energia total de un cuerpo(sin tener en cuenta el movimiento)

[The Higgs Particle]

¿Por qué ${m}^{2} \Phi$es igual a la densidad de energía potencial del campo? ¿Es decir, por qué la masa es igual a la energía potencial? En realidad, este término está relacionado con la densidad de energía potencial del campo,

¿Podemos interpretar la masa como la densidad de energía para llevar al campo a ese estado? Haciendo una analogía con que la masa es igual a la energía interna de un cuerpo. A mayor energía interna, mayor masa.

Hola, Leo. Más o menos, en QFT hay que ser un poco cuidadoso con a lo que nos referimos por "masa". El primer término es efectivamente el término cinético del campo $\Phi$; date cuenta que $\partial_\mu \Phi \partial^\mu \Phi = (\partial_t \phi)^2-(\nabla \phi)^2$, que es fácil demostrar que verifica la ecuación de una onda (en relatividad, con velocidad c). Esto quiere decir también que las fluctuaciones del campo se propagan hasta el infinito: se dice que la interacción es de infinito alcance. Este es el caso del electromagnetismo, con el fotón como bosón mediador que tiene masa nula.

Sin embargo, si ahora le añadimos otro de los términos al Lagrangiano permitido por la simetría del sistema, $\mathcal{L} = \int dr \left[ \partial_\mu \Phi(r)\partial_\mu \Phi(r) - \frac{1}{2}m^2 \Phi^2(r)\right] \sim \int dq \left[q^2\Phi(q)\Phi(q)+\frac{1}{2}m^2\Phi^2(q) \right]$, tras hacer una transformada de Fourier. Por lo tanto, si calculamos la respuesta del campo ante fluctuaciones del mismo (puedes imaginarlo como una sábana ondulando, aunque de forma técnica lo que decimos es que estamos calculando los propagadores -o bosones- del mismo, que es el modo que tenemos de pensarlo como partículas, y no campos):
$G^{-1}(q', q'') = \frac{\delta^2 \mathcal{L}}{\delta \Phi(q')\Phi(q'')} = \int dq \delta(q-q')\delta(q-q'') \left[q^2+m^2 \right] \to G(q) = \frac{1}{q^2+m^2} \to G(r) \sim \exp(-m^2/r)$
Es decir, $m$ entra como una medida del corto o largo alcance que tienen las fluctuaciones en tu sistema, cuán correlacionado está. Desde el punto de vista de las partículas, quiere decir que el bosón que media la interacción de dicho campo es masivo -tiene un gap-. Es decir_ teoría de corto alcance $\leftrightarrow$ bosón masivo (= gap en el espectro de excitación).

Y tiene en cierto modo algo que ver con lo que estabas diciendo, pues cuando estos campos bosónicos son el resultado de fermiones interactuando (como es el caso de los fonones en los sólidos, de los pares de Cooper en los metales, etc. Por eso tienes algo que matemáticamente es como un Quantum Harmonic Oscillator), o en el caso del campo de Higgs (donde todavía no sabemos si es o no una partícula compuesta), lo que ese término de masa $m$ nos quiere decir es que el potencial del campo ha adquirido un nuevo mínimo, que ahora no es el cero (por eso decimos que aparece un gap en el espectro de excitación: ahora modificar el ground state del sistema cuesta cierta energía = el bosón que nos va a permitir cambiar el ground state nos cuesta una energía finita crearlo, relacionada con su masa). Si miras una imagen del llamado "mexican hat potential" podrás ver que ahora deplazarse nos va costar energía porque estamos "metidos en un hoyo" (es decir, el bosón asociado es masivo).
Más técnicamente, decimos que cuando esto ocurre ($m^2>0$), el sistema ha roto espontánemente una de sus simetrías iniciales, y el campo ha adquirido un nuevo valor esperado del vacío. Por ejemplo, justo tras el Big Bang esto pasó con el campo electrodébil, y por eso tenemos un bosón de Higgs masivo (y W, Z...); o por eso aparece el magnetismo en materiales. Al final todas estas transiciones de fase se explican desde la teoría de Ginzburg Landau, donde $m^2$ ni siquiera es necesariamente la masa del sistema, sino un parámetro que tunea dicha transición de fase.


PD: He obviado en la discusión la aparición de los bosones de Goldstone por simplicidad.

[leo_ro]

Gracias por la respuesta.

Hay algo que no entiendo, tenemos la densidad langrangiana del campo:

${g}_{uv} ({\partial}^{u} {\Phi} (r)) ({\partial}^{u} {\Phi} (r) ) - \frac{1}{2} {m}^{2} {\Phi(r)}^{2}$

como llegamos a esto?

${q}^{2} {\Phi} (q){\Phi} (q) - \frac{1}{2} {m}^{2} {\Phi(q)}^{2}$

Entiendo que es un cambio de variable, un mapeo de ${x}^{u} \to {q}^{u}$ pero ¿por qué no tenemos el término de derivada?

Si miras una imagen del llamado "mexican hat potential" podrás ver que ahora deplazarse nos va costar energía porque estamos "metidos en un hoyo" (es decir, el bosón asociado es masivo).
Más técnicamente, decimos que cuando esto ocurre (), el sistema ha roto espontánemente una de sus simetrías iniciales, y el campo ha adquirido un nuevo valor esperado del vacío. Por ejemplo, justo tras el Big Bang esto pasó con el campo electrodébil, y por eso tenemos un bosón de Higgs masivo (y W, Z...); o por eso aparece el magnetismo en materiales. Al final todas estas transiciones de fase se explican desde la teoría de Ginzburg Landau, donde ni siquiera es necesariamente la masa del sistema, sino un parámetro que tunea dicha transición de fase.

Entiendo que el vev del campo de higgs ha cambiado por lo que en todo el espacio tiene un valor de energía no igual a cero. Por lo tanto existe un potencial de Yukawa que interacciona con los fermiones.
¿Esto quiere decir que como el potencial de energía cero es negativo, es necesario aportar una energía igual a la diferencia de llevar a cero el potencial? ¿se entiende la pregunta?