Fusión deuterio y tritio

[China]

En una reacción de fusión deuterio tritio, se genera una partícula y se desprende un neutrón y energía que se llevan las partículas generadas.
1. escribe la reacción del proceso
2. demuestra que el neutrón se lleva 4 veces más energía que la otra partícula.

Hola, este problema que seguro que es sencillo no me sale, el apartado 1 es el deuterio y el tritio para da helio y el protón y la energía , pero no se el 2º apartado.

[Alriga]

$$_1^2H + \, _1^3H \rightarrow \, _2^4He+ n+17.6 \, MeV$$

Asumimos que las velocidades son no relativistas*, entonces podemos usar las expresiones de la mecánica newtoniana. Llamo (1) al neutrón y (2) al núcleo de helio, que son las partículas resultantes de la fusión deuterio-tritio. Asumimos que la colisión entre el deuterio y el tritio sucede prácticamente en reposo. Conservación del momento lineal:

$$m_1 \boldsymbol{v_1}+m_2 \boldsymbol{v_2}=0$$

La energía cinética $E = 17.6 \, MeV$, resultante de los productos de la fusión:

$E=E_1+E_2$

$$\dfrac 1 2 m_1 v_1^2+\dfrac 1 2 m_2 v_2^2 = E$$

Sustituyendo (1) en (2) y operando:

$\dfrac 1 2 m_1 v_1^2+\dfrac 1 2 m_1 v_1^2 \cdot \dfrac{m_1}{m_2}= E$

$E_1=\dfrac 1 2 m_1 v_1^2=\dfrac{m_2}{m_1+m_2} \, E$

Del mismo modo se obtiene:

$E_2=\dfrac 1 2 m_2 v_2^2=\dfrac{m_1}{m_1+m_2} \, E$

En una reacción de fusión deuterio tritio, se genera una partícula y se desprende un neutrón...

...demuestra que el neutrón se lleva 4 veces más energía que la otra partícula...

Dividiendo ambas expresiones:

$\dfrac{E_1}{E_2}=\dfrac{m_2}{m_1}$

$E_1=\dfrac{m_2}{m_1} \, E_2$

Como la masa $m_2$ de la partícula alfa (núcleo de helio formado por 2 protones y 2 neutrones) es ~4 veces la masa $m_1$ del neutrón:

$E_1 \simeq 4 \, E_2\quad c.q.d.$

Obtenemos que la energía cinética del neutrón es ~4 veces la energía cinética de la partícula alfa, c.q.d.

$E\simeq 4E_2+E_2$

$E_2 \simeq \dfrac E 5=\dfrac{17.6}5=3.5 \, MeV$

$E_1 \simeq 17.6-3.5=14.1 \, MeV$

...el apartado 1 es el deuterio y el tritio para dar helio y el protón y la energía...

Nota que el resultado de la fusión deuterio-tritio es un núcleo de helio y un neutrón (no protón), como bien dices en la primera línea del enunciado.

Saludos.

* PD.

Para el neutrón:

$E_1=14.1 \, MeV = 2.2591\cdot 10^{-12} \, J$

$m_1=1.67493\cdot 10^{-27} \, kg$

$v=\sqrt{\dfrac{2E_1}{m_1}}=51938 \ km/s$

$\beta=\dfrac v c=0.1732$

El factor de Lorentz para el neutrón:

$\gamma = \dfrac 1{\sqrt{1-\beta^2}}=1.0154$

$\gamma \simeq 1$

Y por lo tanto en este caso está justificado usar las expresiones newtonianas de la energía cinética y del momento lineal.

[Alriga]

$$_1^2H +_1^3H \rightarrow \, _2^4He+ n+17.6 \, MeV$$

Asumimos que las velocidades son no relativistas ... El factor de Lorentz para el neutrón sale...

$\gamma = \dfrac 1{\sqrt{1-\beta^2}}=1.0154$

$\gamma \simeq 1$

Y por lo tanto está justificado usar las expresiones newtonianas...

Nota China que si la energía cinética hubiera sido mucho mayor y hubiese sido necesario aplicar las expresiones relativistas, el ejercicio se complica algo. La conservación del momento lineal nos dice:

$\boldsymbol{p_1} + \boldsymbol{p_2}=0$

En módulos:

$p_1=p_2=p$

La energía cinética del neutrón es la energía total menos la energía correspondiente a la masa:

$E_1=\sqrt{(m_1c^2)^2+(p_1 c)^2}-m_1 c^2$

$$E_1=\sqrt{(m_1c^2)^2+(p c)^2}-m_1 c^2$$

Del mismo modo, la energía cinética del núcleo de helio:

$E_2=\sqrt{(m_2c^2)^2+(p_2 c)^2}-m_2 c^2$

$$E_2=\sqrt{(m_2c^2)^2+(p c)^2}-m_2 c^2$$

La suma de ambas sabemos que es $E=17.6$ MeV según el enunciado, por lo tanto:

$\sqrt{(m_1c^2)^2+(p c)^2}-m_1 c^2 + \sqrt{(m_2c^2)^2+(p c)^2}-m_2 c^2 = E$

De esta ecuación hay que despejar el momento lineal $p$ que es la única incógnita, operando se obtiene:

$$p=\dfrac{\sqrt{E (2m_2c^2+E) (4m_1^2c^4+4m_1m_2c^4+4E m_1c^2+2E m_2c^2+E^2)}}{c \sqrt{4m_1^2c^4+8m_1m_2c^4+4m_2^2c^4+8E m_1c^2+8E m_2c^2+4E^2}}$$

Ya está, calculamos el momento $p$ según (3) y sustituimos el valor en las ecuaciones (1) y (2) para obtener las energías cinéticas del neutrón y de la partícula alfa, que nos pide el enunciado.

Si quisiésemos calcular las velocidades de ambas partículas, deberíamos tener en cuenta que hay que aplicar la expresión relativista del momento lineal:

$p=m_1 v_1 \gamma_1$

$p=\dfrac{m_1 (\beta_1 c)}{\sqrt{1-\beta_1^2}}$

Despejando:

$\beta_1=\dfrac p{\sqrt{m_1^2 c^2+p^2}}$

Análogamente:

$\beta_2=\dfrac p{\sqrt{m_2^2 c^2+p^2}}$

Finalmente:

$v_1=\beta_1 c \qquad v_2=\beta_2 c$

Saludos.

PD. En el caso particular de este ejercicio, usando la aproximación newtoniana se obtiene

$E=17.6 \, MeV \qquad E_1=14.06 \, MeV \qquad E_2=3.54 \, MeV$

Mientras que usando las expresiones exactas de la relatividad se obtiene:

$E=17.6 \, MeV \qquad E_1=14.04 \, MeV \qquad E_2=3.56 \, MeV$

[carroza]

Hola, Alriga y China .Si quereis usas la cinemática relativista para determinar energías, hay expresiones más sencillas. Suponiendo que estais en el sistema centro de masas, y en modulo
$p_1 = p_2 =p$
Se cumplle $E_1^2 - E_2^2 = (m_1c ^2)^2 - (m_2 c^2)^2$, con lo cual
$E_1 - E_2= {(m_1c ^2)^2 - (m_2 c^2)^2 \over E}$,
y todo sale muy simple.

[Alriga]

...Si queréis usar la cinemática relativista para determinar energías, hay expresiones más sencillas. Suponiendo que estáis en el sistema centro de masas, y en modulo

$p_1 = p_2 =p$

Se cumple

$$E_1^2 - E_2^2 = (m_1c ^2)^2 - (m_2 c^2)^2$$

con lo cual

$$E_1 - E_2= {(m_1c ^2)^2 - (m_2 c^2)^2 \over E}$$

Gracias carroza . El paso de (1) a (2) lo entiendo, es aplicar "suma por diferencia igual a diferencia de cuadrados" pero lo que se me escapa es de donde sale la expresión (1) Con la nomenclatura que hemos usado en todo el ejercicio $E_1$ es la energía cinética del neutrón y $E_2$ es la energía cinética del núcleo de helio.

$E_1+E_2=E=17.6 \, MeV$

Entonces lo que entiendo que se debería cumplir es:

$E_1=(\gamma_1-1)m_1 c^2$

$E_2=(\gamma_2-1)m_2 c^2$

Elevando al cuadrado y restando:

$$E_1^2-E_2^2=(m_1 c^2)^2 (\gamma_1-1)^2 - (m_2 c^2)^2 (\gamma_2-1)^2$$

La única manera que veo en la que (3) se puede convertir en (1) es que las gammas sean cero o dos, que serían casos particulares, no un caso general.

Saludos.

EDITADO. Creo que ya lo veo, lo que sucede es que tus $E_1 \quad E_2 \quad E$ mayúsculas en las expresiones (1) y (2) no son las energía cinéticas, sino las energías totales. Si a las energías totales las llamo $H_1 \quad H_2 \quad H$ para continuar llamando $E_1 \quad E_2 \quad E$ a las energías cinéticas, tus expresiónes (1) y (2) quedan

$H_1^2 - H_2^2 = (m_1c ^2)^2+(pc)^2 - \big [(m_2 c^2)^2+(pc)^2) \big ]$

$$H_1^2 - H_2^2 = (m_1c ^2)^2 - (m_2 c^2)^2$$

$$H_1 - H_2= \dfrac{(m_1c ^2)^2 - (m_2 c^2)^2}{H}$$

$H=H_1+H_2=m_1c^2+m_2c^2+E$

Con $E=17.6 \, MeV$

$H_1 - H_2= \dfrac{(m_1c ^2)^2 - (m_2 c^2)^2}{ m_1c^2+m_2c^2+E}$

$m_1c^2+E_1 - (m_2c^2+E_2)= \dfrac{(m_1c ^2)^2 - (m_2 c^2)^2}{ m_1c^2+m_2c^2+E}$

$$E_1 - E_2= \dfrac{(m_1c ^2)^2 - (m_2 c^2)^2}{ m_1c^2+m_2c^2+E}-m_1c^2+m_2c^2$$

Poniendo denominador común y simplificando se obtiene:

$$E_1 - E_2= \dfrac{m_2c ^2 - m_1 c^2}{ m_1c^2+m_2c^2+E} \cdot E$$

De la expresión (5) conocemos el lado derecho, por lo tanto podemos calcular la diferencia de energías cinéticas

$E_d=E_1-E_2$

Y además sabemos que

$E_1+E_2=E$

Y por lo tanto, las energía cinéticas que pide el enunciado son:

$E_1=\dfrac{E+E_d}2$

$E_2=E-E_1$

Y es realmente más sencillo así, que como yo lo había planteado en el post #3

Gracias y saludos.

[carroza]

Hola, Alriga.

Es que en relatividad, $E$ suele denotar la energía total, y se cumple $E^2 = (cp)^2 + (mc^2)^2$, tanto para la particula 1 como para la dos.
Así, es inmediato que $E_1^2 - E_2^2 = (m_1c^2)^2 - (m_2c^2)^2$,

Si te centras en las energías cinéticas $T_1, T_2$ de las dos partículas, que cumplen $E_1 = m_1 c^2 + T_1$, tambien obtienes una expresión compacta:


$T_1 - T_2 = - (m_1 c^2 - m_2 c^2) {Q \over E}$, donde $Q = E - m_1 c^2 - m_2 c^2$.

Esta expresión, junto con $T_1 + T_2 = Q$, te permite calcular todo muy facil, en cinemática relativista, olvidandote de gammas y otros líos.

Saludos

[Alriga]

Gracias carroza , después de leer este post he operado para simplificar mi expresión (4) obteniendo la expresión (5) que coincide con lo que tú expones. Mea culpa por no haber usado desde el principio E para energías totales y T para energías cinéticas que es la nomenclatura estándar
Saludos.

[China]

Buenas, una cosa que no veo, al aplicar esta ecuación, $E^2 = (cp)^2 + (mc^2)^2$ y restar E1-E2 por qué se van los términos pc?

[Alriga]

...al aplicar esta ecuación, $E^2 = (cp)^2 + (mc^2)^2$ y restar E1-E2 por qué se van los términos pc?

Recuerda que la conservación del momento lineal implica en este caso $p_1=p_2=p$

$H_1^2= (m_1c ^2)^2+(p_1c)^2= (m_1c ^2)^2+(pc)^2$

$H_2^2= (m_2c ^2)^2+(p_2c)^2= (m_2c ^2)^2+(pc)^2$

Restando:

$H_1^2 - H_2^2 = (m_1c ^2)^2+(pc)^2 - \big [(m_2 c^2)^2+(pc)^2) \big ]$

$H_1^2 - H_2^2 = (m_1c ^2)^2-(m_2 c^2)^2+\cancel{(pc)^2}-\cancel{(pc)^2}$

$H_1^2 - H_2^2 = (m_1c ^2)^2-(m_2 c^2)^2$

Saludos.