Datación por 14-C

[China]

Buenas, necesito ayuda con este problema, me parece que falta algo, pero seguro que es que no doy con ello.
"Para datar los restos humanos hallados en un pantano de Irlanda, se ha realizado la prueba de 14-C, se han medido 10 desintegraciones por minuto y gramo, sabiendo que la vida media del 14-C es de 5730 años y que la relación de núcleos en la atmosfera es 14-C/12-C=1,2exp(-12)calcular la antigüedad de los restos."

Lo primero he hallado el numero de núcleos que la muestra tiene actualmente mediante su actividad y la constante de desintegración con el tiempo de vida media, ahora si tuviese los núcleos de carbono 12, podría obtener los de carbono 14 que hay en la atmosfera, que son los que había inicialmente en el cuerpo, y así ya podría hallar la edad, pero no se como conocer los núcleos de 14-C que el cuerpo tenia inicialmente.

[delmar7]

Hola

Si se considera t=0, el momento en que el ser humano murío y T , el momento en que se le encontró, se tiene que la cantidad de isótopos 14-C han disminuido (se desintegran) desde t=0 hasta T, denominando $N_0, \ \ N_T$ las cantidades correspondientes a esos momentos, se tiene una relación $\frac{N_T}{N_0}=e^{-\lambda T}$ Ec 1, donde $\lambda$ se puede conocer por saberse la vida media, considerando la relación genérica $\frac{N_t}{N_0}=e^{-\lambda t} \Rightarrow \frac{N_0/2}{N_0}=e^{-\lambda t_{media}}\Rightarrow \lambda= \frac{ln 2}{5730}$. Ahora se tiene como dato $\frac{dN}{dt}_{t=T}=-10=-\lambda N_T$ Ec 2 :son desintegraciones por minuto por gramo. Si se conociera $\frac{dN}{dt}_{t=0}=-\lambda N_0$ se podría obtener T, de la Ec. 1. Una manera :

Se supone que la relación de carbono 14 a carbono 12 en la atmósfera, no ha cambiado en el tiempo desde antes de t=0 hasta T, es una suposición y suponiendo que esta proporción (la de la atmósfera) es la misma en los seres vivos, obviamente al morir la proporción cambia por las desintegraciones del 14-C. Son dos suposiciones no necesariamente objetivas (explosión de un volcán cambia las cosas), es conveniente tener conciencia de ello, entonces la proporción 14-C / 12-C en t=0 del ser humano que murío, es la misma que la de la atmósfera.En esas condiciones hay que calcular, el número de desintegraciones por minuto por gramo de carbono atmósferico , es decir $\frac{dN}{dt}_{t=0}=-\lambda N_0$ Ec 3 donde $N_0$ son la cantidad de atómos 14-C que hay en 1 gramo de C (considerando como una mezcla de 14-C y 12-C) denominando $N_0=x$e y respectivamente a esas cantidades para fines operativos. La masa en uma s es $14x+12y=14x+12( \frac{x}{1.2(10)^{-12}})=x(14+\frac{12}{1.2(10)^{-12}})$ por el dato del problema y finalmente expresando en gramos, se ha de tener la igualdad :

$x(14+\frac{12}{1.2(10)^{-12}}) \ 1.66054(10)^{-24}=1 \Rightarrow \ x=N_0=60221373770$ atómos 14-C, ahora sí en la Ec 3 considerando el $\lambda$ para minutos, se tiene :

$\frac{dN}{dt}_{t=0}=-\lambda N_0=- \frac{ln 2}{5730(365)(24)60} \ \ 60221373770=13.86$ Ec 4, desintegraciones por minuto y por gramo. Cosiderando las Ec 2 y 4, se obtiene :

$\frac{N_T}{N_0}=\frac{10}{13.86}$ ahora usando la Ec 1 se tiene :

$\frac{10}{13.86}=e^{-\frac{ln 2}{5730} \ T}$ con T en años, se despeja.




Saludos