Divulgación Probabilidad, geometría y cálculos no conmutativos para la descripción de la realidad cuántica

[alexpglez]

Buenas tardes,

Como ya vengo comentando por el foro, la mecánica cuántica no me parece personalmente algo puramente físico, en el sentido de que ciertos postulados de la mecánica cuántica parecen pertenecer o ser resultados de unas ciertas leyes probabilísticas puramente matemáticas. A su vez, si se aplica esta misma filosofía de variables aleatorias "cuánticas" a la geometría del espacio, pareciera que esta geometría no puede ser como la geometría que usualmente consideran los matemáticos y los físicos, ya sea en el marco puramente clásico o relativista (hablo aquí de relatividad general). O que al menos, esta geometría "clásica" parece, al igual que la mecánica relativista, un caso particular donde todas las variables conmutan.

Si me permitís lanzar una opinión bastante personal (sin tener tampoco mucha idea de lo que estoy hablando), esto es lo que, desde mi punto de vista puede fallar cuando se trata de combinar relatividad y cuántica. Que mientras que las herramientas del cálculo de probabilidades "cuánticas" utilizan la geometría "clásica", la realidad es que estas ideas implican una geometría "cuántica", y por tanto al combinarse así tal cual con la relatividad no parece funcionar. Por eso prefiero las propuestas de gravedad cuántica de lazos, que según enlaces divulgativos tratan de redefinir la geometría y ver que de verdad está discretizada. Aunque es una opinión sin fundamento, me impulsó a googlear "probabilidad cuántica", "axiomas de la probabilidad", "probabilidad y espacios de Hilbert", "geometría cuántica", etc. hasta que finalmente encontré dos vocablos que se adecúan a lo que buscaba "probabilidad no conmutativa (o probabilidad libre)", "geometría no conmutativa" (que engloba al cálculo no conmutativo).

Por lo poco que he leído, la probabilidad no conmutativa define las variables aleatorias como elementos de un álgebra (que puede ser compleja) y una función lineal que asocia a cada variable aleatoria a un valor en un cuerpo (y representa la esperanza matemática). De esta manera creo que se pueden definir en un marco mucho más abstracto los postulados de la mecánica cuántica, ya que permite a las variables aleatorias no conmutar.
Sobre la geometría no conmutativa, creo que es más o menos equivalente, las variables son elementos de un álgebra y se generaliza el cálculo y la geometría "clásicas" en tal álgebra.

Por si queréis leer, me parecieron interesantes las entradas de la wikipedia nonconmutative geometry y free probability, aunque quizá algo técnicas. También me ha gustado esta entrada divulgativa sobre probabilidad no conmutativa. Y para cosas más técnicas, encontré este corto pdf sobre probabilidad no conmutativa, y este otro sobre geometría no conmutativa (que más bien es todo un curso escrito por el matemático Alain Connes, si bien creo que la introducción resume muy bien los motivos y resultados matemáticos y físicos de la teoría y merece echarle un vistazo).

Me preguntaba qué opináis los miembros del foro y sobretodo los físicos y matemáticos sobre estas áreas de la matemática. ¿Serán suficientes para dar una descripción completa de toda la física, una teoría que describa todo sobre el espacio-tiempo y los demás campos físicos a nivel cuántico? ¿O habrá alguna otra revolución comparable a la de la mecánica cuántica que exija que se necesiten nuevas teorías sobre probabilidad, geometría y cálculo?

Saludos

[justinux]

Re: Probabilidad, geometría y cálculos no conmutativos para la descripción de la realidad cuántica

[FONT=Helvetica] Hola alexprilez,[/FONT]
[FONT=Helvetica]Lo que comentas en realidad no es nuevo. Si no estoy mal ya Heisemberg propuso la idea de que el espacio-tiempo estuviera descrito por observables no conmutativos. Su motivación parece que fue el hecho de que aparentemente esto pudiera evitar los infinitos que surgen en la Teoría Cuántica de Campos cuando se consideran procesos a muy altas energías o distancias pequeñas. Al igual que la no conmutatividad entre el momento y la posición cuantiza el espacio de fases por una cantidad mínima de acción, así mismo lo haría la no comnutatividad del espacio y por tanto habría una area mínima que impediría dichas divergencias. También Snyder en los años 50 propuso un modelo de geometría no conmutativa y una generalización del álgebra de Poincaré (de las simetrías relativistas) que se llama kappa-Poincaré y que ha tenido su relevancia en teorías de gravedad cuántica. [/FONT]
[FONT=Helvetica] Más recientemente se ha desarrollado una teoría cuántica de campos sobre espacios no-conmutativos, pero se ha visto que dichas teorías lejos de resolver las divergencias ultravioletas, se mezclan con divergencias infrarrojas y la teoría no parece tener un mejor comportamiento. También se ha visto que modelos efectivos de teoría de cuerdas se pueden describir como teorías de campos en espacios geométricos no conmutativos. Y por último, Suskind tiene un modelo de conducción en el efecto Hall fraccionario dodne el plano es una geometría no-comnutativa, donde el parámetro de la no conmutatividad es esencialmente el área mínima que ocuparían los portadores de carga en dicho efecto, es decir, algo así como la descripción cuántica de un fluido bidimensional incompresible.[/FONT]
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[FONT=Helvetica] Finalmente te comento que un modelo sencillo donde aparece un efecto de no-conmutatiidad del espacio es el conocido de modelo de Landau en el límite de masa grande. El problema de Landau es simplemente una carga q con masa m moviendose en un plano en presencia de un campo magnético B perpendicular al plano. En dicha situación los operadores velocidad en las direcciones x y y no conmutan y dicho conmutador es proporcional al campo B. Las velocidades están relacionadas con el momento y la posición, pero en el límite de gran masa dichos conmutadores son en realidad conmutadores entre las coordenadas x y y. De este modo, en un modelo sencillo se pueden ver las consecuencias de un plano no-conmutativo.[/FONT]
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[FONT=Helvetica] Saludos,[/FONT]