1r ciclo Segunda cuantización. Operadores.

[HanT]

Hola, estoy siguiendo un libro llamado QFT for the Gifted Amateur y me he atascado en un punto.

Remarkably, the second-quantized many-body upgrade $\hat{A}$ of the single-particle operator $\hat{A}$to Fock space is a very compact expression:
$\hat{A}=\sum_{\alpha,\beta}\hat{A}_{\alpha \beta}\hat{a}^{\dagger}_{\alpha}\hat{a}_\beta$
The interpretation of equation is beautifully simple. The operator $\hat{A}$ is a sum over all processes in wich you use $\hat{a}_\beta$ to remove a single particle in state $\beta$, mutiply it by the matrix element $A_{\alpha \beta}$ and then use $\hat{a}^{\dagger}_\alpha$.

Aunque creo entender lo que dice sinceramente no entiendo por qué de pronto se usa esto, ni qué interés tiene. Agradecería alguna aclaración de cara a afrontar mejor la expresión y la demostración que hace para llegar a ella después. Sin embargo, como el libro plantea como opcional la demostración me gustaría entender primero a qué quiero llegar.

Gracias, un saludo.

[surrealfrog]

Re: Segunda cuantización. Operadores.

Te permite escribir cualquier estado cuántico mediante la aplicación de los operadores de creación y destrucción

[HanT]

Re: Segunda cuantización. Operadores.

Gracias por contestar. Aunque se me olvidó aclarar que esa cuestión si la comprendo (la de los operadores creación y destrucción), sin embargo, esa no es la expresión a partir de la cual puedo expresar cualquier estado cuántico en función de dichos operadores. Específicamente no entiendo la parte que cito.

[carroza]

Re: Segunda cuantización. Operadores.

Hola.

Para entender la segunda cuantización, hay que tener en cuenta que es simplemente un método util para calcular cosas en sistemas en los que hay funciones de onda complicadas que dependen de muchos cuerpos.

Un ejemplo: Todos habremos estudiado en bachillerato la configuración electrónica de un átomo. Por ejemplo, nos habrán dicho un átomo de Neon tiene una configuración (1s)^2 (2s)^2 (2p)^6.

La mala noticia es que esto es simplemente una aproximación, bastante burda. Si queremos calcular con precisión los estados del átomo de Neon, tenemos que resolver un problema complejo de 8 electrones, más el nucleo, con todas sus interacciones. La solución (numérica) de este problema se puede expresar como una suma de, literalmente, millones de configuraciones, una de las cuales (la más importante) es la anterior, pero tambien podemos tener (1s)^2 (2s)^1 (2p)^4 (3s)^(1) (3d)^2 ..y muchisimas otras que provengan de todas las maneras de poner los 8 electrones en diferentes orbitales.

Si ahora, por ejemplo, quisieramos ver el efecto de un operador (por ejemplo, un campo eléctrico externo), actuando sobre este estado, y quisieramos hacerlo con la mecánica cuántica habitual, tendríamos que tomar esos millones de configuraciones, tomar para cada una de ellas las 8 funciones de onda de sus electrones, multiplicarlas por los operadores correspondientes y reexpresar el resultado final, en la base de los orbitales.

Sin embargo, si el operador que actua es de un cuerpo (eso quiere decir que es una suma de operadores que actuan igual sobre cada electron individual), entonces hay una forma muy facil de reexpresarlo: Considero que cada vez que el operador actua sobre un electrón, que está en el estado $\beta$ (por ejemplo, $\beta$ puede ser el orbital (1s)), me lo va a convertir en una cierta combinación de estados $\alpha$
($\alpha$ pueden ser los orbitales (2s), (2p), (3d)...). Obviamente eso solo puede ocurrir si el estado $\beta$ está ocupado por un electron, y si los estados $\alpha$ están disponibles. Esto se describe, matemáticamente, de forma conveniente usando los operadores de aniquilación $a_\beta$ y de creación $a^\dagger_\alpha$.

Por eso, me resulta muy conveniente expresar mi operador como $\hat A = \sum_{\alpha \beta} A_{\alpha \beta}a^\dagger_\alpha a_\beta$

Fijadse que, razonablemente, uno puede limitar el espacio a 20 o 30 orbitales, con lo cual el operador $\hat A$ vendría descrito por una matriz $A_{\alpha \beta}$ de 30x30, perfectamente manejable. Esta matriz actua de una forma muy sencilla sobre el estado, que tiene millones de configuraciones, que corresponden a las muchisimas formas en las que puedo poner 8 electrones en los 30 orbitales relevantes.

Un saludo

[HanT]

Re: Segunda cuantización. Operadores.

Muchas gracias por el ejemplo. He estado unos días leyendo sobre el tema para concretar mis dudas y hay cosas que no me quedan del todo claras, me gustaría tener seguridad respecto a esto porque tengo que exponer un trabajo. Tengo un poco de lío con la segunda cuantización y la teoría cuántica de campos. En algunos sitios la encuentro un poco entremezclada, o dando distintas definiciones de los términos (que aunque serán equivalentes al final) me confunden. Primera cosa que creo tener clara, corríjanme si me equivoco, es que la mecánica cuántica no trata los procesos de destrucción de partículas. Son procesos que, siempre había pensado, se reservaban para QFT. La cuestión es que el libro que estoy siguiendo enmarca la explicación de la segunda cuantización resaltando que la segunda cuantización consiste en interpretar, a partir de los operadores de creación y destrucción, los sistemas cuánticos en términos de partículas. Por ejemplo los niveles de energía del oscilador armónico como cuantos de energía $\hbar \omega$. Mi duda es si la segunda cuantización únicamente consiste en poner los operadores en función de los operadores de creación y destrucción (lo cual se puede hacer sin hacer la interpretación en términos de partículas), o por el contrario va aparejado una cosa con la otra. Entiendo que la interpretación más "válida" por así decirlo es la que da la QFT (partículas que surgen como excitaciones de un campo) pero quiero saber si la interpretación en términos de creación/destrucción de partículas es propia de la segunda cuantización o se introduce ad hoc antes de tiempo.


Otra duda que, en esencia es la misma a la anterior, es que si un proceso descrito por operadores de creación/destrucción necesariamente lleva aparejados procesos de creación/destrucción de partículas. Por el ejemplo que me pusiste, carroza, yo entiendo que no.

Muchas gracias, espero haberme explicado.

[carroza]

Re: Segunda cuantización. Operadores.

Hola.

Los conceptos de "segunda cuantización", se entremezclan muchas veces con los de "teoría cuántica de campos", pero realmente son muy diferentes.

La teoría cuántica de campos (QFT) es eso, una teoría. Describe el comportamiento de campos cuánticos, a través de las densidades lagrangianas correspondientes. Para resolver las ecuaciones de la QFT pueden resolverse usando diversos métodos (Diagramas de Feynmann, Calculos en una red (lattice), lagrangianos efectivos), pero la QFT sigue siendo la misma QFT. En QFT, las "particulas" aparecen como excitaciones de campos.

La segunda cuantización es un método para resolver problemas, bien sea de mecánica cuántica ordinaria, o de teoría cuántica de campos. Básicamente, introduce operadores de creación o aniquilación, que tienen ciertas reglas de conmutación, y que permiten describir de forma eficiente y elegante problemas en los que hay bosones y fermiones. No hay que imaginar nada esotérico en la segunda cuantización. No es necesaria ninguna "interpretación", en términos de partículas, de las cosas que crean o aniquilan los operadores de segunda cunatización.

Por ejemplo, un problema simple de una partícula en potencial que sea una suma de un potencial cuadrático (pàrábola) y un potencial cuártico (polinomio de orden 4), es un problema de mecánica cuántica ordinaria. Lo puedo resolver, resolviendo numéricamente la ecuación de schrodinger en forma diferencial, o bien, lo puedo resolver segunda cuantización, desarrollando los estados en una base de oscilador armónico y representando el potencial cuártico en términos de operadores de creación y aniquilación de cuantos de vibración. Con ello, al final tendré que diagonalizar una matriz.

Saludos