1r ciclo Sobre la métrica de Minkowski en la desintegración de muón.

[MrM]

Buenos días. Estoy siguiendo en un libro la desintegración del muón, y hay un paso que se me escapa. Pasa de:

$|M|^2=16\, G_F^2\, p_{\beta}\, q_{2,\alpha}\,k^\rho q_{1}^\sigma \,(\eta^{\alpha\mu}\eta^{\beta\nu}-\eta^{\alpha\beta}\eta^{\mu\nu}+\eta^{\alpha\nu}\eta^{\beta\mu}+i\epsilon^{\alpha\mu\beta\nu})$$(\eta_{\rho\mu}\eta_{\sigma\nu}-\eta_{\rho\sigma}\eta_{\mu\nu}+\eta_{\rho\nu}\eta_{\sigma\mu}+i\epsilon_{\rho\mu\sigma\nu})$

Que, desarrollando, debería dar:

$|M|^2=64 \, G_F^2 (p_\mu q_1^\mu)(k_\nu q_2^\nu)$

Mi pregunta es cómo se llega desde la primera expresión a la segunda. Sé que:

$\epsilon^{\alpha\mu\beta\nu}\epsilon_{\rho\mu\sigma\nu}=-2(\delta^\alpha_\rho\delta^\beta_\sigma-\delta^\alpha_\sigma\delta^\beta_\rho)$

Pero no sé si la métrica de Minkowski, $\eta$, debe aplicarse directamente a pelo o si hay alguna identidad que nos diga cuánto valen o cómo actúan los productos del tipo

$\eta^{\alpha\mu}\eta^{\beta\nu}\eta_{\rho\mu}\eta_{\sigma\nu}$

Gracias y un saludo.

[sater]

Re: Sobre la métrica de Minkowski en la desintegración de muón.

Buenas, respondiendo solo a esto

o si hay alguna identidad que nos diga cuánto valen o cómo actúan los productos del tipo

$\eta^{\alpha\mu}\eta^{\beta\nu}\eta_{\rho\mu}\eta_{\sigma\nu}$

fíjate que $\eta^{ab}$ es la métrica inversa a $\eta_{ab}$, por lo que al contraerlas dan la matriz identidad, que es la delta de Kronecker. Entonces $\eta^{\alpha\mu}\eta_{\rho\mu}=\delta_{\rho}^{\alpha}$, $\eta^{\beta\nu}\eta_{\sigma\nu}=\delta^{\beta}_{\sigma}$ y por tanto $\eta^{\alpha\mu}\eta^{\beta\nu}\eta_{\rho\mu}\eta_{\sigma\nu}=\delta_{\rho}^{\alpha}\delta^{\beta}_{\sigma}$, que ya se contraen con los cuadrimomentos.

No he mirado lo demás, pero a ver si con esto llegas al resultado. Un saludo

[MrM]

Re: Sobre la métrica de Minkowski en la desintegración de muón.

Buenas, respondiendo solo a esto


fíjate que $\eta^{ab}$ es la métrica inversa a $\eta_{ab}$, por lo que al contraerlas dan la matriz identidad, que es la delta de Kronecker. Entonces $\eta^{\alpha\mu}\eta_{\rho\mu}=\delta_{\rho}^{\alpha}$, $\eta^{\beta\nu}\eta_{\sigma\nu}=\delta^{\beta}_{\sigma}$ y por tanto $\eta^{\alpha\mu}\eta^{\beta\nu}\eta_{\rho\mu}\eta_{\sigma\nu}=\delta_{\rho}^{\alpha}\delta^{\beta}_{\sigma}$, que ya se contraen con los cuadrimomentos.

No he mirado lo demás, pero a ver si con esto llegas al resultado. Un saludo

¡Muchas gracias!
Estoy pensando cómo se haría para productos de la forma $\eta^{\alpha\mu}\eta^{\beta\nu}\eta_{\rho\sigma}\eta_{\mu\nu}$.

Según yo, podríamos usar que:

$\eta^{\beta\nu}\eta_{\mu\nu}=\delta^\beta_\mu$

Y por lo tanto $\eta^{\alpha\mu}\eta^{\beta\nu}\eta_{\rho\sigma}\eta_{\mu\nu}=\eta^{\alpha\mu}\eta_{\rho\sigma}\delta^\beta_\mu$$=\eta^{\alpha\beta}\eta_{\rho\sigma}\delta^\beta_\mu$

Que también sabemos contraer con los cuadrivectores. ¿Es correcto?

[sater]

Re: Sobre la métrica de Minkowski en la desintegración de muón.

Y por lo tanto $\eta^{\alpha\mu}\eta^{\beta\nu}\eta_{\rho\sigma}\eta_{\mu\nu}=\eta^{\alpha\mu}\eta_{\rho\sigma}\delta^\beta_\mu$$=\eta^{\alpha\beta}\eta_{\rho\sigma}\delta^\beta_\mu$

Que también sabemos contraer con los cuadrivectores. ¿Es correcto?

Fijate que en la última igualdad dos superíndices se repiten, lo cual nunca puede ocurrir con el convenio de sumación de Einstein, por el que se suma sobre índices repetidos, estando uno de superíndice y el otro de subíndice. Simplemente tenías que haber usado la delta de Kronecker para cambiarle el índice a la métrica de minkowski: $\eta^{\alpha\mu}\delta^{\beta}_{\mu}=\eta^{\alpha\beta}$.

A parte de que nunca se repitan índices (que ''estén a la misma altura''), debes comprobar que los índices no contraídos siempre se mantienen, expresión tras expresión. En el producto de cuatro deltas que te planteabas, tenías cuatro índices arriba y cuatro abajo, pero dos eran mudos, por lo que debes acabar con un tensor de rango (2,2).

[MrM]

Re: Sobre la métrica de Minkowski en la desintegración de muón.

Fijate que en la última igualdad dos superíndices se repiten, lo cual nunca puede ocurrir con el convenio de sumación de Einstein, por el que se suma sobre índices repetidos, estando uno de superíndice y el otro de subíndice. Simplemente tenías que haber usado la delta de Kronecker para cambiarle el índice a la métrica de minkowski: $\eta^{\alpha\mu}\delta^{\beta}_{\mu}=\eta^{\alpha\beta}$.

A parte de que nunca se repitan índices (que ''estén a la misma altura''), debes comprobar que los índices no contraídos siempre se mantienen, expresión tras expresión. En el producto de cuatro deltas que te planteabas, tenías cuatro índices arriba y cuatro abajo, pero dos eran mudos, por lo que debes acabar con un tensor de rango (2,2).

En primer lugar, perdón por tardar tanto en responder, he estado muy liado este fin de semana. Muchas gracias, ahora entiendo muchas cosas
Lo único que me quedaría por saber entonces es cómo actuarían las contracciones del tipo
$\eta^{\alpha\mu}\eta^{\beta\nu}\epsilon_{\rho\mu\sigma\nu}$
¿Habría algún modo de simplificar el cálculo en términos de deltas de dirac o es necesario hacer explícitamente las contracciones del Tensor de Levi-Civita y luego las de la métrica de Minkowski?
Siento mucho si mis preguntas son repetitivas o triviales, pero no estoy familiarizado con el formalismo de las métricas y a veces me pierdo con las contracciones

[sater]

Re: Sobre la métrica de Minkowski en la desintegración de muón.

En primer lugar, perdón por tardar tanto en responder, he estado muy liado este fin de semana. Muchas gracias, ahora entiendo muchas cosas
Lo único que me quedaría por saber entonces es cómo actuarían las contracciones del tipo
$\eta^{\alpha\mu}\eta^{\beta\nu}\epsilon_{\rho\mu\sigma\nu}$
¿Habría algún modo de simplificar el cálculo en términos de deltas de dirac o es necesario hacer explícitamente las contracciones del Tensor de Levi-Civita y luego las de la métrica de Minkowski?
Siento mucho si mis preguntas son repetitivas o triviales, pero no estoy familiarizado con el formalismo de las métricas y a veces me pierdo con las contracciones

Buenas de nuevo. Sin llegar a hacer el desarrollo, apuesto a que los productos como el que pones cancelarán con otros renombrando índices y usando que el símbolo de Levi-Civita es antisimétrico al intercambio de cualquier par de índices. Por otro lado, recuerda que la contracción de un tensor simétrico con uno antisimétrico es nula, por tanto productos como $i\eta^{\alpha\beta}\eta^{\mu\nu}\varepsilon_{\rho\mu\sigma\nu}$ son nulos. Creo que con esas dos cosas, más la propiedad de la contracción del símbolo de Levi-Civita consigo mismo, deberías llegar al resultado final.

[MrM]

Re: Sobre la métrica de Minkowski en la desintegración de muón.

Pues no me sale
Tras realizar cuidadosamente todas las contracciones, llego a que el resultado final es:
$|M|^2=16\, G_F^2\, p_{\beta}\, q_{2,\alpha}\,k^\rho q_{1}^\sigma \,$$(4\delta^\alpha_\rho \delta^\beta_\sigma-2\eta^{\alpha\beta}\eta_{\rho\sigma})$

Para llegar al resultado correcto, el segundo término debería ser nulo, pero me da a mí que no lo es Así que deduzco que me he equivocado en algo. Según mis cálculos:

$\eta^{\alpha\mu}\eta^{\beta\nu}\eta_{\rho\mu}\eta_{\sigma\nu}=\delta^\alpha_\rho \delta^\beta_\sigma$

$-\eta^{\alpha\mu}\eta^{\beta\nu}\eta_{\rho\sigma}\eta_{\mu\nu}=-\eta^{\alpha\beta}\eta_{\rho\sigma}$

$\eta^{\alpha\mu}\eta^{\beta\nu}\eta_{\rho\nu}\eta_{\mu\sigma}=\delta^\alpha_\sigma\delta^\beta_\rho$

$-\eta^{\alpha\beta}\eta^{\mu\nu}\eta_{\rho\mu}\eta_{\sigma\nu}= -\eta^{\alpha\beta}\eta_{\rho\sigma}$

$\eta^{\alpha\beta}\eta^{\mu\nu}\eta_{\rho\sigma}\eta_{\mu\nu}=\eta^{\alpha\beta}\eta_{\rho\sigma}$

$-\eta^{\alpha\beta}\eta^{\mu\nu}\eta_{\rho\nu}\eta_{\mu\sigma}=-\eta^{\alpha\beta}\eta_{\rho\sigma}$

$\eta^{\alpha\nu}\eta^{\beta\mu}\eta_{\rho\mu}\eta_{\sigma\nu}=\delta^\alpha_\rho \delta^\beta_\sigma$

$-\eta^{\alpha\nu}\eta^{\beta\mu}\eta_{\rho\sigma}\eta_{\mu\nu}=-\eta^{\alpha\beta}\eta_{\rho\sigma}$

$\eta^{\alpha\nu}\eta^{\beta\mu}\eta_{\rho\nu}\eta_{\mu\sigma}=\delta^\alpha_\rho \delta^\beta_\sigma$

Que serían los nueve productos cruzados entre las métricas de Minkowski. ¿Alguna idea de qué puedo estar haciendo mal?

[sater]

Re: Sobre la métrica de Minkowski en la desintegración de muón.

$\eta^{\alpha\beta}\eta^{\mu\nu}\eta_{\rho\sigma}\eta_{\mu\nu}=\eta^{\alpha\beta}\eta_{\rho\sigma}$

... ¿Alguna idea de qué puedo estar haciendo mal?

Esto, por ejemplo. La contracción $\eta^{\mu\nu}\eta_{\mu\nu}=D$, con D la dimensión del espaciotiempo. Fíjate que, dado que la métrica ''sube índices'', puedes verlo como $\eta^{\mu\nu}\eta_{\mu\nu}=\delta^{\mu}_{\mu}=D$, ya que la traza de la matriz identidad es igual a la dimensión. Creo que estas contracciones te cancelarán las que dices que deben irse.

Un saludo

[MrM]

Re: Sobre la métrica de Minkowski en la desintegración de muón.

Muchísimas gracias, ahora sí sale el resultado que tiene que salir. ¡Un saludo!