Secundaria El oscilador armónico cuántico y los operadores de creación y aniquilación

[Alofre]

Hola,

estaba leyendo sobre el oscilador armónico cuántico y me ha surgido unas dudas respecto a como se llega a que la energía del estado fundamental es $E=(h/2\pi)\omega/2$. La "demostración" la he mirado en esta página http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.../hosc3.html#c1 Básicamente mi duda radica en porque" [FONT=&quot]Para que esto sea una solución a la ecuación de Schrodinger para todos los valores de x, los coeficientes de cada potencia de x deben ser iguales " [/FONT]
Es decir, no entiendo de donde sale esa condición.

Lo segundo, en otra "demostración" del valor de esta energía se toma el Principio de Incertidumbre como una igualdad [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] Mi duda es porque se puede hacer esto, sin tener en cuenta que es una desigualdad.

Muchas gracias!! :-)

[sater]

Re: El oscilador armónico cuántico y los operadores de creación y aniquilación

Buenas. En la línea de lo que se escribe en esa página, puedes verlo como que podrías despejar la ecuación de Schrödinger (una vez supones la solución como la gaussiana) en la forma $f(x)\Psi=0$. Como la función de onda es no nula, debe ser que $f(x)$ lo sea para todo valor de x. En concreto, $x=0$ te da la energía, que resulta ser $E=\alpha h^2/2m$, y por tanto para que el resto de la función sea nula debe anularse el coeficiente que multiplica a $x^2$, lo que te da $\alpha$.

La energía la obtienes por tanto gracias a que lo que has probado resulta ser autofunción del hamiltoniano, es decir, $H\Psi=E\Psi$ y resulta ser la mínima porque justo las gaussianas son estados de desviación mínima (satisfacen $\Delta x\Delta p=\hbar/2$).

[Alofre]

Re: El oscilador armónico cuántico y los operadores de creación y aniquilación

Vale, pero entonces porque coge solo los coeficientes de x^2 y no todos los coeficientes?

Muchas gracias por adelantado

[sater]

Re: El oscilador armónico cuántico y los operadores de creación y aniquilación

Si reescribes como te he dicho, la función resulta ser

$$f(x)= \dfrac{\hbar^2 \alpha}{2m}-E+\left(\frac{1}{2}m\omega^2-\dfrac{\hbar^2 \alpha^2}{2m}\right)x^2$$

Si ha de ser nula para todo x, en concreto x=0 te dice que $E=\dfrac{\hbar^2 \alpha}{2m}$, y una vez tienes eso para que el resto sea nulo también para todo x ha de ocurrir que lo que multiplica a $x^2$ lo sea, lo que te dice que $\frac{1}{2}m\omega^2=\dfrac{\hbar^2 \alpha^2}{2m}$.

[Alofre]

Re: El oscilador armónico cuántico y los operadores de creación y aniquilación

Vale, eso lo entendí por fin, gracias :-). Ahora tengo otra pregunta relacionada que me ha surgido repasando esto.

En internet he leído que la función de onda para n=0 es ${\psi}_{0} = {(\frac{\alpha}{ \pi})}^{1/4}*{e}^{-m\omega x^2 /2hbarra}$
Sin embargo, en el libro The Theoretical Minimum usan tranquilamente ${\psi}_{0} = {e}^{-\omega x^2 /2hbarra}$ que obtiene a partir de
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] donde P y X son respectivamente los operadores momento y posición.

Entiendo que todo el primer factor de la función de onda, que está elevado a 1/4 sea para normalizar la funcion de onda, pero no entiendo por que falta la m en el exponente de la segunda función. Además introduciendo la primera función de onda en la ec de Scrodinger me da el valor E=hbarra*w/2 a diferencia de la segunda, o eso creo. Alguien podría explicarme el porqué de la diferencia entre estas funciones?

Gracias!!

[sater]

Re: El oscilador armónico cuántico y los operadores de creación y aniquilación

Buenas, si te fijas en el libro cuando tratan el problema clásico redefinen las variables para eliminar la masa. Por tanto la ecuación de Schrödinger en la que hay que comprobar la solución es distinta (la 10.14 del susodicho libro), que viene del Hamiltoniano $\frac{1}{2}(\hat P^2+\omega^2 \hat X^2)$, y ellos lo comprueban y les da la energía correcta.