Avanzado Obtener el propagador del lagrangiano de Proca

[MrM]

¡Muy buenas!

Tengo un problema con el que estoy atascado. El problema dice así:

Sea el lagrangiano de Proca para un campo de un bosón masivo vectorial:

$\dst \mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}+\frac{1}{2}M^2A_\mu A^\mu$

Con $F_{\mu \nu}=\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$

Se pide entonces demostrar que el propagador de $A_\mu$ es:

$\dst \widetilde{D}_{\mu \nu}(k)=\frac{i}{k^2-M^2+i\epsilon}[-g_{\mu\nu}+\frac{k_\mu k_\nu}{M^2}]$



Vale, comento lo que he hecho hasta ahora. En primer lugar, planteando las ecuaciones de Euler-Lagrange, he llegado a la expresión:

$\dst \partial_{\mu} (\partial^{\mu} A_{\nu} - \partial_{\nu} A^{\mu} ) + M^2 A^{\nu} = 0$

Que es lo que se conoce como ecuación de Proca. Imagino que ahora tendré que hacer una transformada de Fourier para pasarlo al espacio de momentos y luego buscar la función de Green de lo que obtenga, ¿no? Pero ahí es donde me pierdo (vaya, que no sé hacerlo).

Se me ocurre que quizás en este caso, como nos dan directamente el propagador, hay un modo más simple de hacer el problema que pasar por deducir desde 0 dicho propagador, pero tampoco sabría muy bien cómo tirar por ahí.
¿Alguna idea?

[justinux]

Re: Obtener el propagador del lagrangiano de Proca

El propagador de Feynman es el valor de expectación de la ordenación temporal de un producto de dos campos. Dichos campos cumplen las ecuaciones de movimiento que tu mismo escribiste.. Si tomas la cuadridivergencia de la ecuación de movimiento llegas a que :
1)- La cuadridivergencia del campo es 0.
2) Cada componente del campo A cumple la ecuación de Klein-Gordon de masa M.


De 1) vemos que solo tenemos tres posibles polarizaciones para el campo (las transversales), y de 2) sabemos que el propagador será esencialmente el de Klein-Gordon con masa M, que es justamente el denominador del propagador que nos dan.


Al formar el propagador como un producto de campos ordenados temporalmente te das cuenta que te aparece una suma de productos de los vectores de polarización que en esencia es el proyector sobre el subespacio transversal de vectores tipo espacio, o sea, justamente el numerador de la expresión que te dan.
Saludos.