2o ciclo Duda sonbre "particulas libres" de dirac, energias positivas y negativas

[rayohauno]

Tengo una duda respecto a como calcular el valor de espectacion de la energia
de una "particula libre" de dirac. Hice un par de calculos y en un caso me da energia
positiva como corresponde, pero en el otro caso en donde me deberia dar negativa
tambien me da positiva. No se lo q estoy haciendo mal.

Esto es lo que hice:

Las soluciones de la ecuacion de Dirac para "particulas libres" son segun el
Mandl and Shaw:

Para una particula con energia positiva

$u_r(p) e^{-\frac{i}{\hbar}px}$

Para una con energia negativa

$v_r(p) e^{\frac{i}{\hbar}px}$

El operador energia es:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

De donde saco que:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

y que:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

de donde concluyo que:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

que me da energia positiva como corresponde. Mientras q por otro lado que:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

en donde me deberia dar negativa, pero tambien me da positiva.

He utilizado las propiedades de ortonormalidad de u y v:

$\bar{v_r}(p) v_s(p) = - \bar{v_r}(p) v_s(p) = \delta_{rs}$

y donde supongo que el valor de espectacion de un estado $\psi$
de un operador $\hat{O}$ se calcula (algo q no estoy seguro de q sea asi):

$\bar{\psi}\hat{O}\psi$

Todo pareceria ir bien para el caso de particula negativa v(p), porque aparece un menos, pero luego este menos se cancela con la propiedad de ortonormalidad
para v(p).

Que es lo que he echo mal ??

Saludos
Rayo

[rayohauno]

Re: Duda sonbre "particulas libres" de dirac, energias positivas y negativas

Tras mirar otro poco mas el libro se me ocurrio pensar que el operador
energia que yo use no es tal para particulas de Dirac, sino q mas bien se tiene
una densidad de energia:

$<br /> \mathcal{H}(x) = -i\bar{\psi}(x)\vec{\gamma}\cdot\nabla\psi(x) + M \bar{\psi}(x)\psi(x)<br />$

la cual se deduce de una densidad lagrangiana, y de ahi se puede calcular el operador energia por medio de integrar en todo el espacio:

$H = \int d^3 x \mathcal{H}(x)$

aqui deberia remplazar $\psi$ por el de las correspondientes particulas libres en cuestion, y dar

Saludos
Rayo

[rayohauno]

Re: Duda sonbre &quot;particulas libres&quot; de dirac, energias positivas y negativas

Cabe aclarar q en el primer post hay un gran error, puesto q asumo q
$u_r(\vec{p}) e^{-\frac{i}{\hbar}px}$
$v_r(\vec{p}) e^{\frac{i}{\hbar}px}$
son estados, pero no, son operadores.

saludos
rayo