2o ciclo Formula Barometrica

[rruisan]

Tengo este problema que no se como empezar a resolverlo les agradeceria cualqauier sugerencia!



Considere un gas ideal clásico encerrado en un cilindro de altura infinita en un campo gravitatorio. Suponiendo que la temperatura es uniforme en el cilindro, deriva la fórmula barométrica:


$p(z)=p(0)exp\left(-\frac{mgz}{kT}\right)$

[Al2000]

Re: Formula Barometrica

No se como llegar a esa fórmula, especialmente porque no pones qué es $m$ ni $k$ (asumo que $g$ es la aceleración de gravedad en la superficie de Tierra). Pero revisando viejas lecciones de hidróstática, la ecuación con la que empiezas el cálculo es

$$\frac {dp}{dy} = - \rho g$$

que es la condición de equilibrio de un elemento de volumen en el seno de un líquido. Si consideras que $\rho$ y $g$ son constantes obtienes la conocida $p = \rho g h$ de la presión en un líquido incompresible.

En tu caso tanto $\rho$ como $g$ son variables. Si es un gas ideal

$$\frac p {p_0} = \frac \rho {\rho_0}$$

y si estás en el campo gravitatorio terrestre

$$g = \gamma \frac {M_T}{(R_T+y)^2}$$

y la integral se puede aproximar, para distancias $z$ pequeñas comparadas con el radio de Tierra como

$$\int _0^z \frac {dy}{(R_T+y)^2} \approx \frac z {R_T^2}$$

De manera que si pones todo junto y usas la ecuación de los gases ideales para determinar $\rho_0$ creo que vas a obtener la ecuación que buscas. Al menos ya salió la exponencial decreciente

Saludos,

AA

[rruisan]

Re: Formula Barometrica

$mgz$ es el potencial para el caso del gas ideal en el cilindro! y la k es la cte de Boltzmann! disculpa por no ponerlo! estaba pensando en utilizar $q_{clas}\sim\int dpdqe^{\beta H(p,q)}$ y teniendo esta q sustituyo en $Q=\frac{q^N}{N!}$ despues utilizo $P=K_BT\frac{\partial}{\partial V}\log Q$

[Al2000]

Re: Formula Barometrica

Leer tu mensaje es como oir que a lo lejos alguien me grita algo, y no entender, y pensar si vale la pena caminar hasta allá para saber que me está diciendo

Saludos,

AA

[rruisan]

Re: Formula Barometrica

espero no te molestes! Seria dos formas de hacer este problema pienso yo! Si de casualidad me pudieras aconsejar como integrar con las ecuaciones que mencione te lo agradeceria esque esta ecuaciones son las que trae las notas! Gracias de antemano!

[Al2000]

Re: Formula Barometrica

No me molesta en absoluto. Aquí hay gente de muchos niveles y uno no sabe si se está dirigiendo a un estudiante de bachillerato o de posgrado Si hubiese intuído tu nivel, me hubiese quedado tranquilito esperando ver entrar los leones al circo

Bye.

[Al2000]

Re: Formula Barometrica

¿Tu sabes lo que me molesta? Quedarme con la sensación de estar cerca de la solución de un problema y tener que dejarlo porque no se como seguir. Muchas veces me he tenido que quedar con esa molestia, pero no esta vez.

Yo se que no te interesa este camino para deducir la ecuación, pero de todas formas quisiera compartir contigo (y cualquier otro interesado) que efectivamente se puede obtener usando los conocimientos de Física básica.

Partiendo de la ecuación de equilibrio de un elemento de volumen de un fluido

$$\frac {dp}{dy} = - \rho g$$

donde la densidad del gas se relaciona con la presión por

$$\frac p {p_0} = \frac \rho {\rho_0}$$

y la aceleración de gravedad es

$$g(y) = \gamma \frac {M_T}{(R_T+y)^2}$$

se tiene al combinar estas tres ecuaciones que

$$\frac {dp} p = - \frac {\rho_0}{p_0}\gamma \frac {M_T}{(R_T+y)^2} dy$$

Integrando desde una altura (sobre la superficie terrestre) hasta una altura $z$

$$\int_{p_0}^p \frac {dp} p = - \frac {\rho_0}{p_0}\gamma M_T \int_0^z \frac {dy}{(R_T+y)^2}$$

$$\ln \frac p {p_0} = - \frac {\rho_0}{p_0} \gamma M_T \left ( \frac 1 {R_T} - \frac 1 {R_T+z} \right ) \approx - \frac {\rho_0}{p_0} \gamma M_T \frac z {R_T^2}$$

donde aparece el término $\dst \gamma \frac {M_T}{R_T^2}$ que es $g$, la aceleración de gravedad en la superficie terreste.

De la ley de los gases ideales se tiene que

$$p_0 = \frac {n R T} v = \frac {M R T}{PM \, v} = \frac {\rho_0 R T}{PM} = \frac {\rho_0 k N_A T}{PM} = \frac {\rho_0 k T} m$$

donde $m$ es la masa de una molécula de gas. Despejando $\dst \frac {\rho_0}{p_0}$ y sustituyendo en la ecuación (6) tenemos entonces

$$\ln \frac p {p_0} = - \frac m {k T} g z$$

Finalmente, aplicando antilogaritmo y reacomodando los términos, se obtiene

$$p = p_0 \exp \left(- \frac {m g z}{k T} \right )$$

¡Listo el pollo! Cónchale, hasta mi libro de Física estadística tuve que revisar. No me acordaba de la fulana constante de Boltzmann. Y es que lo que no se usa, se olvida.

Fue un placer. Saludos,

AA

[rruisan]

Re: Formula Barometrica

Gracias me enseñaste otra forma de hacerlo! esque en mi libro estamos trabajando con funciones de particion! y tenia que usar esa! pero la que hiciste no la sabia!

[Raulox]

Re: Formula Barometrica

$mgz$ es el potencial para el caso del gas ideal en el cilindro! y la k es la cte de Boltzmann! disculpa por no ponerlo! estaba pensando en utilizar $q_{clas}\sim\int dpdqe^{\beta H(p,q)}$ y teniendo esta q sustituyo en $Q=\frac{q^N}{N!}$ despues utilizo $P=K_BT\frac{\partial}{\partial V}\log Q$

Hola, ha pasado un año desde este post, ¿pudiste derivar la ecuación usando la funcion de particion? Tengo el mismo problema y no encuentro la forma
Saludos