1r ciclo Energía gas ideal

[lailola]

¿Cómo se puede demostrar que la energía de un gas ideal es

$\frac{3NKT}{2}$ ?


Salud!

[Entro]

Re: Energía gas ideal

Busca: Teorema de equipartición de la energía...

es directo...

[lailola]

Re: Energía gas ideal

Entro, ya lo puse en Google pero esa demostración no me aparece de forma explícita. Por eso pregunté :s ...

Lo que necesito hacer es demostrar esa expresión para poder utilizarla y demostrar el teorema de equipartición (no puedo basarme en este teorema para deducir la expresión).

[Entro]

Re: Energía gas ideal

Pues así a bote pronto no recuerdo la demostración general del teorema. Supongo que lo que tendrás que hacer es emplear la distribución de Boltzmann y calcular la V(rms) y luego te lo elevas al cuadrado. Eso debería de darte el 3/2KT.

Luego para sistemas con potenciales utilizas el teorema del virial que te dice que los promedios de la energía cinética y la potencial están relacionadas y ya has demostrado el teorema y ya lo puedes usar.

Pero si lo que quieres es solo calcular la energía de un gas ideal... pues entonces basta con calcularte el Vrms elevarla al cuadrado y multiplicarla por (1/2)m (recuerda que V(rms) da el promedio (mas o menos) de la velocidad total, es decir, contiene información de las tres componentes) En un gas ideal solo tienes energía cinética, así que con calcular eso ya sobra.

[javiermsi]

Re: Energía gas ideal

¿Estamos hablando de termodinámica verdad? En tal caso no te queda de otra que tomarlo como postulado. Yo no veo ninguna salida excepto calcular directamente el teorema de equipartición de la energía (http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema..._gases_ideales) y a partir de ahí darse cuenta que $\langle H \rangle = E$ aunque ahí estamos hablando realmente de física estadística que no termo.

En física estadística tendríamos para $H = \frac{p^2}{2m}$ (como puedes ver en el artículo de wikipedia). Te hago el cálculo para que lo veas claro (Z es la función de partición canónica y $d\Gamma$ se refiere a las variables de integración del hamiltoniano)

$E = \langle H \rangle = \frac{1}{2}\langle p \frac{\partial H}{\partial p} \rangle = \frac{1}{Z}\int d\Gamma p \frac{\partial H}{\partial p}e^{-H/kT} = \frac{1}{Z}\int p \frac{\partial e^{-H/kT}}{\partial p}(-kT)= kT$

Lo del cambio entre $H$ y $1/2 p \frac{\partial H}{\partial p}$ es un truco que simplifica bastante. Por lo demás explicar que en la última igualdad se integra por partes (cambiando el signo de kT) y suponiendo que $e^{-H/kT}$ decrece lo suficientemente rápido como para desecharlo acabamos con el resultado que buscamos. Bueno, lo que tu quieres lo tienes explicado en la wikipedia.

Aunque, a todo esto, no se si has dado física estadística . Esta es la mejor manera de hacerlo/verlo. No tengo mucho más tiempo ahora así que cualquier cosa pregunta, que si no soy yo esta gente te hecha una mano .

Saludos

[Afisionado]

Re: Energía gas ideal

¿Cómo se puede demostrar que la energía de un gas ideal es

$\frac{3NKT}{2}$ ?


Salud!

Cómo se llega a esa fórmula viene perfectamente explicado en el apartado 17.5 del Tipler, pág 503 Tomo 1. Es un poco largo para escribirlo todo, pero más o menos parte de la energía cinética de una molécula multiplicada por sus grados de libertad. Si no se tiene en cuenta la rotación, sólo la traslación, a densidades muy bajas, alguien obtuvo experimentalmente que la Ec media depende sólo de la temperatura del gas y los relacionó con esta fórmula:

$(\frac{1}{2}mv_x^2)_m=\frac{1}{2}kT$

Si eso lo multiplicas por N moléculas y las dimensiones que quieras tienes la fórmula buscada. Por ejemplo, para N moléculas y tomando solamente las tres dimensiones de traslación, sería:

$E_c=\frac{3}{2}NkT$

si lo transformas a moles sería

$E_c=\frac{3}{2}nRT$

si es un gas diatómico y tienes en cuenta la energía de rotación alrededor de dos ejes

$E_c=\frac{5}{2}NkT$

etc.
Si tienes el Tipler o posibilidad de encontrarlo, viene perfectamente desarrollado en la referencia que dije. Son los capítulos de Termodinámica.

Espero que sirva.
Saludos a todos.

[Entro]

Re: Energía gas ideal

Si lo que quiere es demostrarlo eso no le vale... supongo que tendrá que derivarlo de Maxwell-Boltzmann

[lailola]

Re: Energía gas ideal

Como bien dice Entro, necesito utilizar la función de Maxwell-Boltzmann. A partir de ella puedo calcular la presión en términos de $v_c$ (sin utilizar en ningún momento la expresión de $v_c$ en función de la temperatura). Llego a que

$P=\frac{1}{3}nmv_c^2$.

$n$ es el número de partículas por unidad de volumen.

Por otro lado se que la ecuación del gas ideal $PV=molRT$ utilizando que $R=N_aK$ se puede escribir así:

$P=nKT$ (y esto último es lo que no se si se puede asumir).

Igualando la primera y última expresión de

$P=nKT=\frac{1}{3}nmv_c^2=\frac{2}{3}n\frac{1}{2}mv_c^2=\frac{2}{3}nE_t \longrightarrow E_t=\frac{3}{2}KT$

Suponiendo que esta demostración sea válida, la pregunta es...¿por qué me sale la energía de una molécula con 3 grados de libertad, en vez del $\frac{1}{2}KT$?

Muchas zenkius a todos por haberme ayudado con lo mío

Agradecería además, que si alguien encuentra una demostración más rigurosa (si es que lo que yo hice fue una demostración xD) y sencillita (por pedir... jejeje) que lo comente por aquí

Saluti!

[jorgext]

Re: Energía gas ideal

Si conoces el concepto de energía libre, la energía $U$ se encuentra a partir de ella: $F$, donde $F = U - \tau \sigma$. Donde $\tau$ es la temperatura y $\sigma$ la. Tienes:

$U = F + \tau \sigma$

Además de la definición de entropía a partir de la energía libre dada por:

$\sigma = -\dfrac{\partial F}{\partial \tau}$

Si usas que:

$F = N\tau(\log N -1 -\log V - \frac{3}{2} \log \tau + \frac{3}{2}\log(2\pi \hbar^2/M))$

Deberías poder encontrar el resultado.

[lailola]

Re: Energía gas ideal

No, el concepto de energía libre lo ha empezado a dar ahora, se supone que debemos saber hacer la demostración sin conocerlo.

[jorgext]

Re: Energía gas ideal

Otra forma de obtenerlo es a partir de la función partición $Z$ para un gas de N partículas.

Usa esto:

$U = \tau^2 \dfrac{\partial (log Z)}{\partial \tau}$

[jorgext]

Re: Energía gas ideal

Como bien dice Entro, necesito utilizar la función de Maxwell-Boltzmann. A partir de ella puedo calcular la presión en términos de $v_c$ (sin utilizar en ningún momento la expresión de $v_c$ en función de la temperatura). Llego a que

$P=\frac{1}{3}nmv_c^2$.

$n$ es el número de partículas por unidad de volumen.

Por otro lado se que la ecuación del gas ideal $PV=molRT$ utilizando que $R=N_aK$ se puede escribir así:

$P=nKT$ (y esto último es lo que no se si se puede asumir).

Igualando la primera y última expresión de

$P=nKT=\frac{1}{3}nmv_c^2=\frac{2}{3}n\frac{1}{2}mv_c^2=\frac{2}{3}nE_t \longrightarrow E_t=\frac{3}{2}KT$

Suponiendo que esta demostración sea válida, la pregunta es...¿por qué me sale la energía de una molécula con 3 grados de libertad, en vez del $\frac{1}{2}KT$?

Muchas zenkius a todos por haberme ayudado con lo mío

Agradecería además, que si alguien encuentra una demostración más rigurosa (si es que lo que yo hice fue una demostración xD) y sencillita (por pedir... jejeje) que lo comente por aquí

Saluti!

La partícula puede moverse en tres direcciones $(x,y,z)$

[lailola]

Re: Energía gas ideal

La función Z tampoco nos la presentó aún el profesor...

Gracias, Jorge, entiendo lo de los 3 grados.

[Jose D. Escobedo]

Re: Energía gas ideal

Siguiendo los consejos de Entro y de acuerdo con la distribucion de Maxwell-Boltzmann se tiene que;

$\displaystyle \int_0^{4\pi} \int_{0}^{\infty} A e^{\frac{mv^2}{2kT}} v^2 dv d\Omega = 1$...(1)

$\displaystyle \int_0^{4\pi} \int _{0}^{\infty} A( v^2 )e^{\frac{mv^2}{2kT}} v^2 dv d\Omega = <v^2>$...(2)

dividiendo (1) Y (2) obtendras la expresion que te piden para una molecula o un atomo.

nota: utilice dos integrales porque me dio pereza normalizar la integral (1) y no tengo ningun libro a mi alcance. Ademas, se utilizaron coordenadas esfericas del espacio de velociades, siendo $v^2 =v_x^2 + v_y^2 + v_z^2$

Espero que esto te ayude un poco mas en tu busqueda.

[lailola]

Re: Energía gas ideal

Vaya, gracias. Al final entre todos creo que salió.