Secundaria Trabajo realizado por un sistema.

[franciscobermejillo]

Hola, que tal, necesitaría que me ayuden con un problema.

Si tengo un gas, que ocupa un determinado volumen,y que esta en condiciones normales de presión y temperatura. El mismo, está en un estado A. A partir de este estado el gas sufre una serie de transformaciones.
A---- B mediante una expansión isotérmica hasta el doble del volumen.
B-----C mediante una expansión isobárica hasta un volumen igual al triple del inicial.

La pregunta sería:
Si el gas, hubiera sufrido una transformación desde A directamente hasta el estado C (en un gráfico se dibujaria como una recta entre A y C). El trabajo realizado por el gas, daría el mismo resultado que el el caso anterior ( A---- B mediante una expansión isotérmica hasta el doble del volumen y B-----C mediante una expansión isobárica hasta un volumen igual al triple del inicial.)
Gracias!!!

[lucass]

Re: Trabajo realizado por un sistema.

Hola.
El trabajo realizado es el área debajo de la gráfica p-v de la evolución del sistema.
Realiza el gráfico de las transformaciones de A a B y de B a C como se especifican (isotérmica e isobárica) y fijate si el área que encierra es igual o no al área que queda delimitada por la línea que va de A a C directamente.
En general no es igual el trabajo realizado mediante distintas trasformaciones, es decir, el trabajo depende del camino (como el calor intercambiado).
Saludos

[GNzcuber]

Re: Trabajo realizado por un sistema.

Hola,

Efectivamente como dice lucass en general el trabajo depende del camino.

El trabajo de A a B (isoterma):

$$\dst W_{A\rightarrow B}=-\int_{V_1}^{V_2}p{d}V$$

Pero como la presión no es constante debemos despejarla para ver las componentes que necesitamos, supondré por simplicidad que es un gas ideal, entonces: $\dst p=\frac{nRT}{V}$, donde n es la cantidad de sustancia que si es un sistema cerrado será constante, R es la constante de los gases ideales $\dst R\approx 8.31J\cdot (K\cdot mol)^{-1}$, y T es constante (es isotérmica).

$$\dst W_{A\rightarrow B}=-\int_{V_1}^{V_2}p{d}V=-nRT\int_{V_1}^{V_2}\frac{{d}V}{V}=-nRT\left[\ln{V}\right]_{V_1}^{V_2}=nRT\ln\left(\frac{V_1}{V_2}\right)$$

Esto lo puse más que nada porque si tienes un gráfico p-V no sabrás cómo dibujar una isotérimica así a ojo, pues varía como $\dst \frac{1}{T}$, ya sabes $\dst \frac{pV}{T}=C$, y su trabajo logarítmicamente.

Ahora la expansión isobárica, la presión es constante y por lo tanto el trabajo será $\dst W_{B\rightarrow C}=-\int_{V_2}^{V_3}p{d}V=-p\left[V\right]_{V_2}^{V_3}=p(V_2-V_3)$

Teniendo en cuenta que $\dst V_2=2V_1$ y $\dst V_3=3V_1$, entonces:

$$\dst W_{A\rightarrow C}=W_{A\rightarrow B}+W_{B\rightarrow C}= nRT_A\ln\left(\frac1{2}\right)-p_BV_1$$

Es negativo porque el trabajo lo realiza el sistema, si bien recuerdo era así, porque en ingeniarías y en la Wikipedia $\dst W=p{d}V$. Y en física es positivo el trabajo y el calor cedido por nosotros $\dst U=Q+W$.

Volviendo a tu ejercicio, no entiendo bien sobre la transformación directa, que se debería representar como una recta. Porque la idea es ir de un estado A, con su respectiva temperatura, volumen y presión, a un estado C, con su respectiva temperatura, volumen y presión. Sabemos que el volumen en C es el triple que en A sólamente. Si se cumple que $\dst \frac{p_AV_A}{T_A}=\frac{p_CV_C}{T_C}$ entonces supondría que no hubo intercambio de enrgía con el medio y el proceso fue adiabático, por tanto:

$$\dst W_{A\rightarrow C}=\frac{p_AV_A-p_CV_C}{\gamma-1}$$

Donde el coeficiente adiabático $\dst \gamma$ depende del gas ideal y es igual al cociente entre su calor específico a presión constante y su calor específico a volumen constante.

Bueno, se debería evaluar si $\dst p_AV_A\ln\left(\frac1{2}\right)-p_CV_C$ de (1) sería igual a (2). Yo creo que no porque el trabajo que escribo en este párrafo es totalmente negativo, nota que el argumento del logaritmo es menor que uno y por tanto el logaritmo es negativo (en cambio su valor absoluto es menor que uno ya que el denominador es menor que la base). Y como gamma es mayor que uno, deberías si $\dst p_CV_C>p_AV_A$, de lo contrario (2) sería positivo.... algo que veo que no podría ser porque sin saber las presiones el volumen en C es mayor que en A y el trabajo es negativo.

En fin, ¿De qué manera te dice que varía?

Saludos.

[lucass]

Re: Trabajo realizado por un sistema.

Es negativo porque el trabajo lo realiza el sistema, si bien recuerdo era así, porque en ingeniarías y en la Wikipedia $\dst W=p{d}V$. Y en física es positivo el trabajo y el calor cedido por nosotros $\dst U=Q+W$.

Esto hasta donde yo sé no depende de si es ingeniería o física (o wikipedia? jeje) sino que simplemente se adopta un convenio. Así que si el trabajo que realiza el sistema contra el medio es positivo o negativo depende de lo que hayan convenido en el curso, y franciscobermejillo debería saberlo.

Volviendo a tu ejercicio, no entiendo bien sobre la transformación directa, que se debería representar como una recta. Porque la idea es ir de un estado A, con su respectiva temperatura, volumen y presión, a un estado C, con su respectiva temperatura, volumen y presión. Sabemos que el volumen en C es el triple que en A sólamente. Si se cumple que $\dst \frac{p_AV_A}{T_A}=\frac{p_CV_C}{T_C}$ entonces supondría que no hubo intercambio de enrgía con el medio y el proceso fue adiabático, por tanto:

$$\dst W_{A\rightarrow C}=\frac{p_AV_A-p_CV_C}{\gamma-1}$$

Esto no lo entiendo. Aparentemente le dicen que compare con el trabajo si el sistema fuera de A a C directamente (en línea recta en la representación p-V). Sea como fuere, la transformación directa de A a C no podría ser adiabática (esto se ve bien gráficamente, como el primer proceso, que va de A a B, es isotérmico, y luego, de B a C isobárico (línea recta horizontal), una recta que una A con C pasará necesariamente "por arriba" de B, mientras que un proceso adiabático iría necesariamente "por debajo" de B, ya que las curvas adiabáticas en el plano p-V tienen mayor pendiente que las isotermas).
De todas formas, si sólo piden analizar si el trabajo es el mismo o no, no se necesita hacer cálculo alguno, sino simplemente graficar y ver las áreas.
Si aún así uno quisiera calcular el trabajo en este proceso que va directo de A a C, entonces el problema es simplemente calcular el área de un triángulo y un rectángulo y sumarlas (la base del triángulo es $3V_0-V_0=2V_0$ mientras que la altura es $\dst p_0-p_f=p_0-\frac{p_o}{2}=\frac {p_0}{2}$. El rectángulo tendría la misma base, y su altura sería $p_0/2$)
Eso es todo
Saludos

[GNzcuber]

Re: Trabajo realizado por un sistema.

Uf, muchas gracias lucass, esto lo contesté ayer mientras estaba medio dormido y no me di cuenta de cuán fácil era, pensaba que no podría calcular el trabajo de otra manera. Pero es tan sencillo como calcular el área de un trapecio, o un triángulo y un rectángulo.

¡Saludos!