1r ciclo Ecuación de estado a partir de los coeficientes térmicos

[sliv3r]

Hola, buenas, a ver tengo un problemilla...xD en un ejercicio me dan los coeficientes de dilatación y compresibilidad y me piden que calcule la ecuación de estado, los coeficintes son:

$\alpha=\displaystyle\frac{R}{pV}$ y $\kappa_T =\displaystyle\frac{1}{p}+\frac{a}{V}$

Por la defición de los coficientes llego a:

$\displaystyle\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p=\displaystyle\frac{R}{p}$ y $\displaystyle\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T=\displaystyle-\frac{V}{p}-a$

Entonces:

$dV=\displaystyle\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p dT + \displaystyle\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T dp=\displaystyle\frac{R}{p} dT - \displaystyle\frac{V+ap}{p} dp$

La pregunta es:¿Hay que integrar "a pelo" a ambos lados y yasta o tengo que separar las variables? en cuyo caso, como las separo? porque llevo 3 horas dandole vueltas a las ecuaciones y no hay manera, vamos que (desde mi mas absoluta ignoracia) no creo que se pueda...

Bueno como siempre muchas gracias anticipadamente

[polonio]

Re: Ecuación de estado a partir de los coeficientes térmicos

Sí se puede, sólo tienes que expresar $\dd T$ en función de $\dd p$ y ya puedes integrar todo en función de la presión y el volumen.

Usamos las propiedades:

$$\dst \left( \frac{\partial V}{\partial T } \right)_p \left( \frac{\partial T}{\partial p } \right)_V \left( \frac{\partial p}{\partial V } \right)_T=-1$$

$$\dst \left( \frac{\partial V}{\partial p } \right)_T=\frac{1}{\left( \frac{\partial p}{\partial V} \right)_T }$$

Con esto obtienes:

$$\dst \left( \frac{\partial T}{\partial p} \right)_V = \frac{\kappa _T}{\alpha }$$

Con lo que:

$$\dst \dd T= \frac{\kappa _T}{\alpha } \dd p= \frac{\frac{1}{p}+\frac{a}{V}}{\frac{R}{pV}}\dd p=(\frac{V}{R}+\frac{ap}{R})\dd p$$

Sustituye ahora la expresión (3) en tu ecuación... y verás qué sencilla. Si no me equivoco (esto ya lo he hecho de cabeza y muy rápido), creo que sale que $V=cte.$.

[sliv3r]

Re: Ecuación de estado a partir de los coeficientes térmicos

muchas gracias muy útil