2o ciclo Presión entre aire y mercurio . Ejercicio del Resnick, Halliday

[Weberger]

Hola. Aqui otra vez con un ejercicio que me esta causando problemas para resolverlo:
Creo que la idea es calcular la presion que se ejerce sobre el aire, en la parte inferior,
por la columna de mercurio de 10 cm, pero no doy con el resultado.
Espero su ayuda.

Este es el problema:

3. Un tubo delgado, cerrado por ambos extremos, tiene 1.0 m de largo. Está colocado horizontalmente, los 10 cm del centro contienen mercurio y los dos extremos iguales encierran aire a la presión atmosférica normal. Si el tubo se voltea al colocarlo en posición vertical. ¿Cuánto se moverá el mercurio?

La respuesta del libro es:

El mercurio baja 41.7 cm.

[Al2000]

Re: Presión entre aire y mercurio . Ejercicio del Resnick, Halliday

Yo me voy a atrever a decir que aquí hay otro error del Resnick. Lamentablemente no tengo la versión original en inglés para chequear si se trata de un error de traducción.

Verán, mis cálculos dan que el mercurio baja unos modestos 2.93 cm, valor muy alejado de los 41.7 cm que pone el libro. Pero si el mercurio baja 41.7 cm, entonces la columna de aire bajo el mercurio se acorta desde sus 45 cm iniciales hasta 3.3 cm, es decir, el volumen se reduce en un factor de 13.64. El aire encerrado que originalmente se encontraba a 1 atm estaría ahora a 13.64 atm, mientras que del otro lado la presión se reduciría a 0.52 atm. Pero una columna de 10 cm de altura de mercurio apenas ejerce una presión de 0.13 atm.

Mis cuentas fueron estas, si alguien tiene a bien considerarlas. Al voltear el tubo, el mercurio bajará hasta que la diferencia de presión entre el aire en la parte inferior y el aire en la parte superior equilibre el peso:

$$m g = F_1 - F_2 = (p_1 - p_2) A = \left(p \frac v {v_1} - p \frac v {v_2}\right) A = \left(\frac {p v}{l_1 A} - \frac {p v}{l_2 A}\right) A = \left( \frac 1 {l_1} - \frac 1 {l_2}\right) p v$$

$$\Rightarrow \quad \rho h A g = \left(\frac 1 {l_1} - \frac 1 {l_2}\right) p \frac {l-h} 2 A$$

Cancelando el área $A$ común y poniendo que $\dst l_2 = l - h - l_1$, obtengo al resolver (con el computador, les debo el despeje) que $\dst l_1 = 0.4207\,\mathrm{m}$.

Saludos,

Al

[carmelo]

Re: Presión entre aire y mercurio . Ejercicio del Resnick, Halliday

Hola:
Yo avalo el razonamiento como el resultado obtenido por Al. Aunque no me atrevo a decir que sea un error del libro, ya que yo no tengo a mano ninguna edición de Resnick. Habría que ver que si Weberger está utilizando el libro, lo copió del libro, etc. No va a ser la primera vez que se equivoca uno al copiar o interpretar un ejercicio, ni tampoco va a ser la primera vez que un libro presenta un error. Pero para asegurar lo segundo, preferiría descartar lo primero.

Saludos
Carmelo

[Al2000]

Re: Presión entre aire y mercurio . Ejercicio del Resnick, Halliday

Yo tengo la primera edición en español, que supuestamente es la traducción de la primera edición en inglés. El enunciado del problema es tal cual está copiado en el mensaje original y en la solución que aparece en el apéndice está como se dijo aquí. Me preguntaba si la versión en inglés dirá que el mercurio baja hasta 41.7 cm, lo que pondría el resultado en el rango de la incertidumbre de los valores usados para la aceleración de gravedad y la densidad del mercurio.

Saludos,

Al

[Weberger]

Re: Presión entre aire y mercurio . Ejercicio del Resnick, Halliday

Totalmente de acuerdo con los 2.93 cm que baja el mercurio. Estuve buscando el solucionario de versiones antiguas del resnick, pero no pude encontrar nada. Ni tampoco encontré las versiones antiguas.
Gracias

[Weberger]

Re: Presión entre aire y mercurio . Ejercicio del Resnick, Halliday

La presion en el aire, de la parte inferior, es (p2):
${p_2=p_1+\rho gh}$

${0=\rho gh+p1-p2}$

${0=\rho gh+\frac{nRT}{V1}-\frac{nRT}{V2}}$

${0=\rho gh+\frac{p_iAl_i}{Al_1}-\frac{p_iAl_i}{Al_2}}$

donde $p_i=1 (atm)$ , A es el area y $l_i=0,45 (cm)$
y $l_1+l_2=0,9(cm)$
.....
.....
después de simplificar términos y ordenar, llegamos a:

${133281l_2^2 -102895,2l_2+40905=0}$
resolviendo tenemos que ${l_2=0,42(m)}$
por tanto el mercurio se desplazo ${45 - 42 (cm)=3(cm)}$

[Al2000]

Re: Presión entre aire y mercurio . Ejercicio del Resnick, Halliday

¿Eso de dónde lo sacaste? Esas ecuaciones no son dimensionalmente consistentes. Empezando desde la primera están mezclando fuerza y presión.

Saludos,

Al