Secundaria Dilatación volumétrica

[Gabista]

Hola gente. Estoy adelantando contenidos para estar al día en la asignatura de física (de secundaria) y mientras buscaba ejercicios para hacer me encontré con el siguiente:

Un bulbo de vidrio está lleno con 50 ${cm}^{3}$ de mercurio a 18 ºC. Calcular el volumen (medido a 38 ºC) que sale del bulbo si se eleva su temperatura hasta 38 ºC. El coeficiente de dilatación lineal del vidrio es 9x${10}^{-6}$ º${C}^{-1}$, y el correspondiente coeficiente cúbico del mercurio vale 18x${10}^{-6}$ º${C}^{-1}$. Nota: se dilatan simultáneamente el bulbo y el mercurio.

Lo que hice fue calcular ambos volúmenes con la fórmula $\Delta V = 3\alpha\cdot {V}_{0}\cdot\Delta t$ y luego restar las cifras. Se supone que el resultado es 0.15 ${cm}^{3}$, pero no llego.
Me lo podrían explicar, por favor. Gracias desde ya .

[Pepealej]

Re: Dilatación volumétrica

Para calcular el volumen final (después de la dilatación) del mercurio tienes que utilizar: $v=v_0(1+ \gamma \Delta t)$, donde gamma es el coeficiente de dilatación volumétrico. De ahí sacas lo que se dilata el Hg, pero ahora me has pillado con el lineal del vídrio... intentaré ayudarte a lo largo de la mañana

[Al2000]

Re: Dilatación volumétrica

Hola gente. Estoy adelantando contenidos para estar al día en la asignatura de física (de secundaria) y mientras buscaba ejercicios para hacer me encontré con el siguiente:
Lo que hice fue calcular ambos volúmenes con la fórmula $\Delta V = 3\alpha\cdot {V}_{0}\cdot\Delta t$ y luego restar las cifras. Se supone que el resultado es 0.15 ${cm}^{3}$, pero no llego.
Me lo podrían explicar, por favor. Gracias desde ya .

¿Tu estás seguro de los datos que pusiste? En internet se consigue que el coeficiente de expansión del mercurio es diez veces mayor que el valor que pones. Usando el coeficiente que pones para el vidrio para determinar el nuevo radio del bulbo y el coeficiente de expansión del mercurio que sale en la Wikipedia, la diferencia de volúmenes me da $0.1530\,\mathrm{cm^3}$.

Las fórmulas que usé son $r' = r (1+\alpha \Delta T)$ para determinar el nuevo radio del bulbo y $V' = V (1 + \beta \Delta T)$ para determinar el nuevo volumen del mercurio.

Saludos,

Al

[Gabista]

Re: Dilatación volumétrica

¿Tu estás seguro de los datos que pusiste? En internet se consigue que el coeficiente de expansión del mercurio es diez veces mayor que el valor que pones. Usando el coeficiente que pones para el vidrio para determinar el nuevo radio del bulbo y el coeficiente de expansión del mercurio que sale en la Wikipedia, la diferencia de volúmenes me da $0.1530\,\mathrm{cm^3}$.
Las fórmulas que usé son $r' = r (1+\alpha \Delta T)$ para determinar el nuevo radio del bulbo y $V' = V (1 + \beta \Delta T)$ para determinar el nuevo volumen del mercurio.

Tienes razón, en este pdf (ejercicio 21) sale erroneo el coeficiente del mercurio.
Ahora hice nuevamente el ejercicio con las fórmulas que usaste pero sigo sin llegar a $0.1530\,\mathrm{cm^3}$. Pero recién leía en este pdf (parte 12.8) donde dice: "Para un sólido isotrópico (aquel en el cual el coeficiente de dilatación lineal es el mismo en todas las direcciones), el coeficiente de dilatación volumétrica es el triple del coeficiente de dilatación lineal". Modifiqué la fórmula del modo $r' = r (1+3\alpha \Delta T)$ y finalmente llegué al resultado correcto.
Lo hice bien o es una forma incorrecta de llegar al resultado?

[Al2000]

Re: Dilatación volumétrica

No tengo idea de que cálculo hiciste que te permitió llegar al mismo valor. En todo caso la aproximación que planteas sería esta:

$\dst r' = r (1+\alpha \Delta T) \quad \Rightarrow \quad \underbrace {\frac {4 \pi } 3 (r')^3}_\text {V' bulbo} = \underbrace {\frac {4 \pi } 3 r^3}_\text {V bulbo} \underbrace {(1 + \alpha \Delta T)^3}}_{\approx 1 + 3 \alpha \Delta T} \quad \Rightarrow \quad V'_\text {bulbo} = V_\text {bulbo} (1 + 3 \alpha \Delta T)$

que te permite calcular el aumento de volumen del bulbo usando el coeficiente de expansión lineal del vidrio.

Saludos,

Al

[Pepealej]

Re: Dilatación volumétrica

Hola amigos, me surgió una duda al leer este hilo (una duda general).

Yo conozco las fórmulas de dilatación lineal, superficial y volumétrica de sólidos, así como la dilatación volumétrica de líquidos y gases. Todas ellas vienen determinadas por fórmulas idénticas (sólo cambia si se mide en $m$, $m^2$, $m^3$ o $l$). Todas ellas son así:

$a=a_0(1+\alpha \Delta t)$

Donde $a$ puede ser metros, superficie o volumen, y $\alpha$ es el coeficiente correspondiente.

Al2000 usó una fórmula del mismo estilo para determinar el radio del bulbo, sólo consideró $a=R$, siendo $R$ el radio del bulbo. Yo me pregunto, ¿cuándo tengo problemas de éste tipo, puedo utilizar el esquema de fórmula anterior para determinar lo que quiera? ¿Se puede hacer con cualquier dato, a parte del radio?

Además, no entiendo muy bien lo que hizo para hayar el volúmen del bulbo.

Necesito una respuesta, me corroe la duda. Muchas gracias

[Al2000]

Re: Dilatación volumétrica

Las fórmulas son iguales, cambia el coeficiente de dilatación. Lo usual es que para los sólidos se de el coeficiente de dilatación lineal y para líquidos y gases el coeficiente de dilatación volumétrica.

Inicialmente yo planteé el problema de la dilatación del bulblo calculando el nuevo radio porque el dato indicado es el coeficiente de dilatación lineal del vidrio. En realidad el problema no dice que el bulbo sea esférico y uno prodría considerar que es aproximadamente cilíndrico, pero si aplicas el coeficiente de dilatación lineal a cada una de las dimensiones (lineales, radio y longitud), obtendrás el mismo incremento en el volumen.

También puedes hacer el problema sin tener que considerar una forma específica y considerar que si cada dimensión lineal del cuerpo (bulbo) se dilata en la misma proporción, entonces el nuevo volumen será $\dst V' = V (1 + \alpha \Delta T)^3 = V [1 + 3 \alpha \Delta T + 3 (\alpha \Delta T)^2 + (\alpha \Delta T)^3] \approx V (1 + 3 \alpha \Delta T)$. La aproximación la puedes hacer porque el valor de $\alpha \Delta T$ es muy pequeño usualmente (0.00018 en este caso) y al elevarlo a una potencia resulta despreciable en comparación.

Saludos,

Al

[Pepealej]

Re: Dilatación volumétrica

O sea, ¿planteas la dilatación lineal en 3 dimensiones? Es decir, multiplicas la dilatación lineal de la altura, del radio al cuadrado, así consigues la dilatación del volumen. Nota que $V=\pi r^2 h$, o te he entendido mal?

Gracias!

[Al2000]

Re: Dilatación volumétrica

No del radio al cuadrado, del radio a secas.

Por nada!

[Pepealej]

Re: Dilatación volumétrica

Ah... ¿y puedes hacer eso? O sea, puedo yo combinar los datos que tenga para 'formar' ecuaciones que coincidan con las unidades (siempre que sigan un esquema como en este caso la dilatáción térmica). ¿No?

Gracias

EDITADO: Ahhh!!! Ya te cogo! Antes de nada, pensaba que un bulbo era una especia de cilindro, pero ya veo que es una esfera. Ahora sí me cuadran los volúmenes, por eso te dije lo de la altura antes. Ya está todo aclarado, muchas gracias

Sólo tengo una cuestión, ¿has elevado todo al cubo porque el radio está elevado al cubo no? ¿Puedo manejar las ecuaciones cómo me convenga, siempre que sea coherente, como has hecho tú? Gracias