Secundaria Problema de Gravitación

[laumarpe]

Os mando uno más. Agradecería cualquier ayuda para empezar el problema...

[FONT=Arial]Un satélite artificial de 2 T de masa describe una órbita circular a 400 km de la superficie terrestre. Se pide:[/FONT]

1. [FONT=Arial]Velocidad orbital del satélite.[/FONT]
2. [FONT=Arial]Si se lanza desde la superficie terrestre, calcular la energía necesaria para situar el satélite en órbita.[/FONT]

[FONT=Arial]Datos: [/FONT][FONT=Arial]G = 6.67*10^(-11)[/FONT][FONT=Arial] S.I.; MTierra = 5.98*10^24 Kg; RTierra = 6370 Km[/FONT]

Gracias, una vez más!

[angel relativamente]

Re: Problema de Gravitación

Aquí tan solo has de conocer y entender las ecuaciones y tener picardía para saber usarlas.

Bueno, supongo que la primera fórmula, la de gravitación universal la conoces:

$$\dst F_g=G\cdot \frac{m_s \cdot m_T}{d^2}$$

Siendo G la constante de gravitación universal, $m_T$ la masa terrestre, $m_s$ la masa del satélite y d la distancia entre la Tierra (su centro) y el satélite. Si descomponemos esa distancia, podemos darnos cuenta que es el radio de la Tierra más la altura a la que se encuentra el satélite: $d=r_T + h$

$$\dst F_g=G\cdot \frac{m_s \cdot m_T}{\left( r_T + h \right) ^2}$$

Otra fórmula nos habla de la fuerza centrípeta, que como ya sabrás:

$$F_c=\dst \frac{m_s \cdot {v_o}^2}{d}=\frac{m_s \cdot {v_o}^2}{\left( r_T+h \right)^2 }$$

Siendo $v_o$ la velocidad orbital. En el caso de un satélite orbitando alrededor de la Tierra, obsérvese que la fuerza gravitatoria es igual a la fuerza centrípeta:

$$F_g=F_c$$

Por tanto:

$$\dst G\cdot \frac{m_s \cdot m_T}{\left( r_T + h \right) ^2}=\dst \frac{m_s \cdot {v_o}^2}{d}=\frac{m_s \cdot {v_o}^2}{\left( r_T+h \right)^2 }$$

Que simplificando y despejando la velocidad orbital:

$$v_o=\dst \sqrt{\frac{G \cdot m_T}{r_T +h}}$$

Sustituye los valores (acuérdate de tenerlo todo en las mismas unidades) y te saldrá el valor del módulo de la velocidad orbital.




En cuanto al apartado b), te están pidiendo la energía para poner a un satélite en órbita. Evidentemente, necesitarás una energía para subirlo a dicha altura (conocida como energía potencial) y una para darle suficiente velocidad y que no caiga (conocida como energía cinética).

$$E_p=m_s \cdot g\cdot h$$

$$E_c=\dst \frac12 m_s \cdot {v_o}^2$$

La energía total necesaria para poner el satélite en órbita será la suma de ambas energías:

$$E_T=E_p+E_c=m_s \cdot g\cdot h+\dst \frac12 m_s \cdot {v_o}^2=m_s \left( gh+\dst \frac12 \cdot {v_0}^2 \right)$$

Sustituyes cada valor en las mismas unidades y... EUREKA, ya tienes el ejercicio resuelto

Si queda alguna duda, no te cortes en preguntar.

¡Un saludo!

Ángel