Otras carreras ¿Por qué Cp>Cv?

[tate]

Hola amigos, necesito vuestra ayuda.

Sé que para los gases ideales, Cp = Cv + R

¿Alguien me podría dar una explicación teórica y sencilla de por qué esto es así?

Muchas gracias.

Saludos.

[Cat_in_a_box]

Re: ¿Por qué Cp>Cv?

Hola tate,

Bueno, seguro que hay otras deducciones, pero te pongo una sencilla. Si quieres más información, siempre puedes buscar sobre la ley de Mayer, que viene a ser lo que has escrito.

Pues bien, es posible deducir una relación entre $C_P$ y $C_V$ para el caso de un gas ideal. Para ello, has de considerar primero un proceso isocoro, es decir, a volumen constante. Si se colocan n moles de gas idea a una temperatura determinada en un recipiento, de volumen constante, claro está, que colocamos en contácto térmico con un cuerpo caliente, tenemos que la cantidad infinitesimal de calor fluye hacia el gas, de modo que su temperatura también aumenta en una fracción o cantidad infinitesimal. Recuerda que la definición de la capacidad calorífica molar a un volumen constante es:

$$\mathrm{d}Q=nC_V\mathrm{d}T$$

Si bien también puedes expresarlo en términos de derivadas parciales, es decir:

$$\mathrm{d}V=0\Rightarrow \mathrm{d}Q=\left(\dst\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}\mathrm{d}T \Rightarrow \mathrm{C_V}=\left(\dst\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V}$$

Recuerda que estamos en un proceso isocoro siempre. De todas formas, utilizaremos la expresión (1) para seguir la deducción, verás que es más fácil. Entonces, la presión aumenta durante este proceso, pero recuerda que al ser un proceso isocoro el gas no realiza trabajo alguno. Ahora, debes echar mano del primer principio de la Termodinámica en su forma diferencial, y tener en cuenta que el diferencial de trabajo es cero:

$$\mathrm{d}Q=\mathrm{d}U+\mathrm{d}W,\quad \mathrm{d}W=0\Rightarrow \mathrm{d}Q=\mathrm{d}U}\Rightarrow \mathrm{d}U=nC_V\mathrm{d}T$$

No he hecho más que sustituir en la primera expresión de todas que el diferencial de calor es justamente el diferencial de energía interna, por ser un proceso a volumen constante.

Ahora hemos de cambiar nuestro proceso, a uno a presión constante (verás ya por dónde van los tiros). Desde luego, el proceso se da con el mismo cambio de temperatura. Así pues, Si ponemos el gas en contacto con un cuerpo caliente, el calor fluirá hacia el gas, de modo que se expansionará a presión constante, efectuando trabajo. Y claro está, si antes habíamos recurrido a la definición de capacidad calorífica molar a volumen constante, pues ahora, a presión constante. Ésta es:

$$\mathrm{d}Q=nC_P\mathrm{d}T$$

Por si te interesa, también se define mediante derivadas parciales, en este caso acudiendo a una función de estado diferente, la entalpía, es decir:

$$C_P=\left(\dst\frac{\partial H}{\partial T}\right)_P$$

Pero bueno, sigamos con la primera definición que dimos.Así pues, el trabajo efectuado por el gas en este proceso isobaro es:

$$d\mathrm{W}=P\mathrm{d}V$$

Lo que nos interesa, para tener una expresión como la del volumen constante, es expresar esto en función de la temperatura. Como se trata de un gas ideal:

$$PV=nRT\Rightarrow \mathrm{d}W=P\mathrm{d}V=nR\mathrm{d}T$$

Si sustituimos las dos expresiones anteriores en la del primer principio, tenemos que:

$$\mathrm{d}Q=\mathrm{d}U+\mathrm{d}W\Rightarrow nC_P\mathrm{d}T=\mathrm{d}U+nR\mathrm{d}T$$

Después de todo esto, aquí viene realmente lo importante. El cambio de energía interna del gas para el proceso a presión constante está dado aún por la expresión que dedujimos en (3). Esto es así por una propiedad de los gases, recuerda que para un gas ideal su energía interna depende SOLO de la temperatura, y no del volumen, es decir, U es función exclusiva de T. Por tanto, el cambio de energía interna durante un proceso debe estar determinado sólo por el cambio de temperatura. Entonces, si (3) es válida para el gas en un proceso determinado, debería ser válida para cualquier proceso (!!) con el mismo cambio (infinitesimal) de temperatura. Por lo que, sorprendentemente, podemos sustituir el diferencial de la energía interna de (3) en (8), quedando:

$$nC_P\mathrm{d}T=nC_V\mathrm{d}T+nR\mathrm{d}T$$

Si dividimos cada término entr el factor común que tienen, o sea, $n\mathrm{d}T$ obtenemos:

$$\boxed{\boxed{C_P=C_V+R}}$$

¡Que es justamente lo que tú decías! Esta es la ley de Mayer (si bien se suele enunciar como que la resta de la capacidad calorífica a presión constante y volumen constante es también una constante, R). Así pues, la capacidad calorífica de un gas ideal a presión constante es mayor que la del volumen constante, y su diferencia es justamente la constante de los gases ideales.


Espero que (lo primero tengas paciencia para leer todo esto) y lo hayas entendido. Como ves, matemáticamente es sencillo, sólo hay que tener unos pocos conceptos claros

Saludos,

[hennin]

Re: ¿Por qué Cp>Cv?

Resumiendo la magnífica explicación de cat: Q= W +$\Delta U$
Entonces, a volumen constante W=0 $\Rightarrow$ Q= $\Delta U$
Mientras que a presión constante, Q= W+ $\Delta U$

Es decir, a presión constante, parte del calor se transforma en trabajo. Mientras que a volumen constante se transforma íntegramente en un aumento de energía interna.
Entonces, el calor necesario para aumentar 1ºC de un kg de cierta sustancia, va a ser mayor Cp que Cv.

[Umbopa]

Re: ¿Por qué Cp>Cv?

Usando ecuaciones T dS puedes obtener la relación Cp-Cv=(T*B^2*V/K) donde B es el coeficiente de dilatación y K la compresibilidad.
Y la compresibilidad tiene la costumbre de ser positiva ( Ya que las condiciones de estabilidad así lo dicen) .

[tate]

Re: ¿Por qué Cp>Cv?

Cat_in_a_box

Impresionante explicación, Cat_in_a_box. Me ha quedado todo muy claro gracias a tu explicación, muchísimas gracias por tu tiempo.

Muchas gracias también a hennin y a Atrode por las puntualizaciones.

Muchas gracias a todos.

Un abrazo y saludos.