Otras carreras Ciclo de Carnot.

[elpesao]

Muy buenas tardes a todos.

Estoy aquí liado con la termodinámica y Carnot se me resiste... Estaba haciendo este problema:

Calcular el calor cedido al refrigerante por un mol de nitrógeno al describir un ciclo de Carnot, sabiendo que en la primera isoterma y en la primera adiabática el volumen del gas se duplica. DATOS: temperatura del foco caliente 75ºC.
SOL: -362,1 cal.

Bueno, hago mi dibujo del ciclo y pongo los 4 puntos tal cual están aquí:

T1 la sabemos que es 348K.
El nitrógeno es diatómico (¿cierto?).
El volumen en A es V1, en B es 2V1 y en C es 4V1.
La constante tomamos 1,987 Cal /mol · K (para obtener el resultado en calorías como en el problema).

Y ahora os digo como le he metido mano a esto:

AB -> Isotermo T=cte -> $\Delta$U = 0 -> Q = W = nRT·ln(2v1/v1) = 1·1,987·348·ln(2) = 479,3 cal.

BC -> Adiabático Q=0 -> -$\Delta$U = W -> $\Delta$U = n · Cv · (T1 - T2) = 1·(5/2)·1,987(264-348)=-418,6 cal

W = 418,6 cal

La temperatura del foco frío la he sacado de $Tb\cdot{Vb}^{\gamma } = Tc\cdot{Vc}^{\gamma }$

CD -> Isotermo T=cte -> $\Delta$U = 0 -> Q = W = nRT·ln(Vd/4V1)

y a partir de aquí no se seguir, pues no encuentro como dejar el volumen del punto D en función de V1...

Agradecería si alguien me echa una mano, muchas gracias!

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Re: Ciclo de Carnot.

Hola,

Para resolver este ejercicio, se me ocurre que en vez de andar calculando cada proceso del ciclo, puedes recurrir a la expresión que utilizó Kelvin para fijar su escala de temperaturas absolutas. La expresión que te voy a poner, define una escala de temperatura con base en el ciclo de Carnot y en el Segundo Principio de la Termodinámica, y es independiente del comportamiento de cualquier sustancia específica (de ahí lo de escala absoluta).

$$\dst\frac{T_C}{T_H}=\dst\frac{|Q_C|}{|Q_H|}=-\dst\frac{Q_C}{Q_H}$$

Por tanto, el calor cedido al refrigerador será (en valor absoluto):

$$Q_C=\dst\frac{T_C Q_H}{T_H}$$

Puedes calcular todo lo que tienes en esa expresión fácilmente. La temperatura del foco caliente la conoces, luego con el denominador no hay problemas. La temperatura del foco frío la calculas como tú has dicho, teniendo en cuenta la expansión adibática:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
El calor cedido por el foco caliente es fácil de calcular, ya que es el trabajo que realiza el sistema al expansionarse pues se trata de un proceso isotermo, no hay variación de energía interna, luego por el primer principio de la Termodinámica, lo obtienes. Por tanto:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Ya tienes todo para calcular el calor cedido al refrigerante:

$$Q_C=\dst\frac{T_C Q_H}{T_H}=\dst\frac{263.73\mathrm{K}\cdot 2005.46\mathrm{J}}{348\mathrm{K}}=1519.83\mathrm{J}=363.25\mathrm{cal}$$

El signo es negativo de acuerdo con nuestro sistema de signos (hemos calculado el valor absoluto) ya que es calor cedido por el sistema. Tal vez haya alguna otra forma de resolverlo, pero esta me parece la más sencilla, al menos en cálculos.

Saludos,

[elpesao]

Re: Ciclo de Carnot.

Muchísimas gracias por tu respuesta.

Aplicando esa fórmula se hace mas sencillo... Se te ocurre como podría solucionarlo sin recurrir a ella? Más que nada porque se supone que este problema he de resolverlo siguiendo el proceso pero no lo consigo por más que lo intento.

Gracias de nuevo!

EDITO: esa fórmula no es equivalente a igualar el rendimiento máximo de una máquina de carnot al de una máquina térmica no reversible?

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Re: Ciclo de Carnot.

Hola,

La fórmula que utilicé fue la que define la escala de temperaturas absolutas, si bien se puede deducir una expresión exáctamente igual, que indica la transferencia de calor en máquina de Carnot. De hecho, el resultado lo que dice es que la eficiencia de una máquina de Carnot sólo depende de las temperaturas de las dos fuentes de calor. Veamos cómo puedes deducir la expresión del mismo ciclo:

Por un lado obtienes el calor cedido por el foco caliente al sistema, que es igual al trabajo en la expansión isoterma que se da entre a y b, es decir:

$$Q_H=nRT_H\ln\left(\dst\frac{V_b}{V_a}\right)$$

Por otro lado, tienes que el calor cedido por el sistema al refrigerante es justamente el trabajo realizado sobre el sistema en la compresión, también isoterma, que se da entre c y d:

$$Q_C=-nRT_C\ln\left(\dst\frac{V_c}{V_d}\right)$$

Si dividimos miembro a miembro esta expresión:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Por otro lado, tienes que, como el proceso que se da entre b y c es una expansión adiabática:

$$T_HV^{\gamma-1}_b=T_CV^{\gamma-1}_c$$

Y como el proceso entre d y a es una compresión también adiabática (puede que te sea útil esta expresión si quieres realizar el ejercicio teniendo en cuenta todos los procesos, ya que de aquí puedes obtener el volumen en d):

$$T_cV^{\gamma-1}_d=T_HV^{\gamma-1}_a$$

Así pues, si divides también estas ecuaciones, obtienes que:

$$\left(\dst\frac{V_c}{V_d}\right)^{\gamma-1}=\left(\dst\frac{V_b}{V_a}\right)^{\gamma-1}\Rightarrow \dst\frac{V_c}{V_d}=\dst\frac{V_b}{V_a}$$

Así que sustituyendo en la ecuación (3), tienes que:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
De ahí además se deduce lo que dije al principio sobre el rendimiento del ciclo y la dependencia exclusiva de las temperaturas:

$$\eta=1-\dst\frac{T_C}{T_H}$$

La expresión que utilicé ayer es igual a la que hemos deducido hoy, pero hay una sutil diferencia. La de ayer se basa en un termómetro de gas ideal, pero la de ayer define en si misma una escala de temperatura, con la base en este ciclo y en el segundo principio, y es independiente de la sustancia específica.

Espero que lo hayas entendido. Como ves, puedes usar la expresión, ya que se deduce del mismo ciclo.

Saludos,

[elpesao]

Re: Ciclo de Carnot.

Mil gracias por la perfectísima explicación!!

Ya tengo todos mis cabos sueltos bien atados para el examen de mañana, gracias de nuevo muy amable!!