Secundaria Trabajo de expansión

[Kuiper]

Hola, buenas tardes. He estado haciendo algunos ejercicios de los cuales tengo las soluciones, pero he llegado a uno que no entiendo. El problema dice lo siguiente:

Un recipiente que contiene 1,20 mol de N2 a 298 K se encuentra a una presión de 1,75 atm. Calcula el trabajo intercambiado con su entorno cuando se expande hasta la presión de 1,00 atm a temperatura constante.

Solución:
$W=-n\cdot R\cdot T\cdot ln\dfrac{{V}_{2} }{{V}_{1}} = W=-n\cdot R\cdot T\cdot ln\dfrac{{p}_{2} }{{p}_{1}} = -1663,79 J$

En primer lugar no se de dónde salen estas fórmulas, ya que no he visto este tipo de procesos (o eso creo yo).

Lo que he podido hacer por mi cuenta es sacar el volumen inicial y final mediante la ley de Boyle-Mariotte y la ley de los gases ideales. Pero claro, el trabajo de expansión-compresión es: $W=-p \cdot \Delta V$. Y como la presión no es constante no puedo aplicar esta fórmula.

Un saludo.

[Cat_in_a_box]

Re: Trabajo de expansión

Hola Kuiper,

Supongo que sabrás que el trabajo que realiza un gas por definición es:

$$W=-\dst\int_{V_1}^{V_2}p\mathrm{d}V$$

He puesto el signo menos porque es el gas el que realiza el trabajo. Es pura convención, pues de hecho, en Termodinámica se suele utilizar el criterio ''egoísta'' de asignar el signo negativo al trabajo que es realizado sobre el sistema, pero bueno, por lo que veo esto corresponde seguramente al temario de Termoquímica de 2º de Bachillerato...

Si el proceso se da a temperatura constante es isotermo. Suponiendo que se trata de un gas ideal, podemos escribir:

$$pV=nRT\Rightarrow p=\dst\frac{nRT}{V}$$

Por lo que si sustituimos en lo anterior:

$$W=-\dst\int_{V_1}^{V_2}p\mathrm{d}V=-\dst\int_{V_1}^{V_2} \dst\frac{nRT}{V}\mathrm{d}V$$

Puede salir fuera de la integral tanto la constante de los gases ideales, como el número de moles y la temperatura, ya que ésta se mantiene constante. De modo que:

$$W=-\dst\int_{V_1}^{V_2} \dst\frac{nRT}{V}\mathrm{d}V=-nRT\dst\int_{V_1}^{V_2}\dst\frac{\mathrm{d}V}{V}$$

Como ves, la integral que te queda es inmediata, y la primitiva es el logaritmo (neperiano, por supuesto). Finalmente:

$$W=-nRT\dst\int_{V_1}^{V_2}\dst\frac{\mathrm{d}V}{V}=-nRT\ln\dst\frac{V_2}{V_1}$$

Esa sería pues, la expresión del trabajo de expansión que realiza el nitrógeno para pasar de un volumen inicial a uno final (y que mediante la ecuación de los gases ideales puedes expresar en función de las presiones en vez del volumen). Ya no tienes más que sustituir datos numéricos.

Saludos,

[angel relativamente]

Re: Trabajo de expansión

Hola Kuiper. Para un proceso isotérmico (T cte) tenemos que:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Por la ley de los gases ideales tenemos que:

$p=\dfrac{nRT}{V}$

Sustituimos:

$W=-\dst \int_{V_1}^{V_2} \dfrac{nRT}{V}dV$

Pero puesto que $nRT$ es constante (recuerda que estamos en un isotérmico), sale de la integral:

$W=-nRT\dst \int_{V_1}^{V_2} \dfrac{dV}{V}=-nRT \left[\ln V + C \right]_{V_1}^{V_2}= -nRT \cdot (\ln V_2 - \ln V_1)=\boxed{-nRT \cdot ln \dfrac {V_2}{V_1}}$

Bastaría sustituir los valores y hallarlo. Tú has despejado los volúmenes, no está mal hecho. Pero ten en cuenta que te dan las presiones, por tanto sería más cómodo:

$V_1=\dfrac{nRT}{p_1}$ y $V_2=\dfrac{nRT}{p_2}$

Al sustituir en la expresión anterior:

$W=-nRT \cdot ln \dfrac {V_2}{V_1}=-nRT \cdot ln \dfrac {\dfrac{nRT}{p_2}}{\dfrac{nRT}{p_1}}=-nRT \cdot \ln \dfrac{p_1}{p_2}$

Bastaría sustituir ahí.


PD: Creo haber operado bien, así que la igualdad que tu das anteriormente no es correcta:

$W=-n\cdot R\cdot T\cdot ln\dfrac{{V}_{2} }{{V}_{1}} = W=-n\cdot R\cdot T\cdot ln\dfrac{{p}_{2} }{{p}_{1}}$

O bien la solución está mal o bien has copiado mal. Quizá pueda ser así si cambiamos el signo:

$W=-n\cdot R\cdot T\cdot ln\dfrac{{V}_{2} }{{V}_{1}} = W=n\cdot R\cdot T\cdot ln\dfrac{{p}_{2} }{{p}_{1}}$

¡Saludos!

PD2: El felino corre mucho últimamente

[Kuiper]

Re: Trabajo de expansión

Muchas gracias Cat.
La verdad es que no sabía la definición del trabajo que realiza un gas, son cosas que por alguna razón que desconozco no nos enseñan en el instituto.
Saludos

PD: ¡vaya dos ayudas tengo!

O bien la solución está mal o bien has copiado mal.

Cierto, ya no se ni copiar xD

Gracias Ángel.