2o ciclo Duda con la varianza del número de fotones

[jfnp]

Hola,

En un problema de Mecánica estadística, me piden demostrar que, para un gas de fotones, se tiene que la dispersión del número de fotones es:
$\overline{\left(\Delta N\right)^{2}}=\sum_{r}\overline{n_{r}^{2}}-\sum_{r}\overline{n_{r}}^{2}$.
Bien, dado que el gas de fotones sigue la estadística de Bose-Einstein, parto de que:
$\overline{N}=\sum_{r}\frac{1}{e^{\beta\left( \epsilon_{r}-\mu\right)}-1}$
$\overline{n_{r}}=\frac{1}{e^{\beta\left( \epsilon_{r}-\mu\right)}-1}$.
Como además:
$\overline{\left(\Delta N\right)^{2}}=kT\left(\frac{\partial\overline{N}}{\partial\mu}\right)$

Puedo llegar, a:
$\overline{\left(\Delta N\right)^{2}}=\sum_{r}\overline{n_{r}}+\sum_{r} \overline{n_{r}}^{2}$.

¿Qué más puedo hacer para llegar al resultado pedido? ¿Se os ocurre algo?

Saludos, y gracias por adelantado.