Otras carreras Ley de equipartición de la energía, dudas

[Aer]

Saludos, me ha surgido una duda leyendo un libro, y como no tengo mucha idea, pensé que preguntar sería la mejor opción jeje, a ver si me podéis echar una mano. No sé si es correcto preguntar esto en esta sección, pero bueno, el libro estaba hablando sobre la ley de equipartición de la energía. El libro dice así:

"...Por tanto, sus energías cinéticas, en promedio, tendrán el mismo valor, kT/2. Sin embargo, cada onda estacionaria oscilante senoidal tiene una energía total que es el doble de su energía cinética promedio. Esta es una propiedad común a todos los sistemas que tienen un grado de libertad y que llevan acabo oscilaciones armónicas simples en el tiempo"

¿Por qué la energía total es el doble que la cinética promedio en sistemas que tienen un grado de libertad y que llevan acabo oscilaciones armónicas simples?.

Por lo que he leido en wikipedia en http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema...arm.C3.B3nicos

dicen directamente
Energia total = E_cinetica + E_potencial = kT/2 + kT/2

Creo que entiendo por qué la energía cinética promedio es kT/2, pero si me pudieses explicar con un poco más de detalle por qué la energía potencial promedio también es kT/2 o si me pudieses recomendar alguna lectura con la que aclarase mejor mis ideas sobre el teorema de equipartición de la energia, especialmente con el tema de los osciladores armonicos simples lo agradecería mucho.

Muchas gracias de antemano.

[arreldepi]

Re: Ley de equipartición de la energía, dudas

Hola, en estos sistemas, la energía total coincide con lo que se conoce como hamiltoniano, con lo cual

$$E=H = T + U = \frac{1}{2}mv^2 +\frac12 kx^2 = \frac{p^2}{2m} + \frac 12 kx^2$$

lo escribo en función del momento porque es una de las variables en que se expresa el hamiltoniano (en lugar de la velocidad) y uso el potencial $\frac 12 kx^2$ porque el movimiento es hamrónico simple.

El teorema de equipartición dice que:

$$\left<x_i\frac{\partial H}{\partial x_j}\right> = \delta_{ij}k_BT$$

donde $x_i$ puede ser cualquiera de las variables del Hamiltoniano, en nuestro caso: x ó p

Entonces, si aplicamos esto a nuestro hamiltoniano:

$$\left<E\right> = \left<H\right> = \left<\frac{p^2}{2m}\right>+ \left<\frac{kx^2}{2}\right>$$

si nos fijamos en que:

$$\frac{\partial H}{\partial p} = \frac pm \quad\to\quad \frac{p^2}{2m} = \frac 12 p\frac{\partial H}{\partial p}$$

$$\frac{\partial H}{\partial x} = \frac kx \quad\to\quad \frac{kx^2}{2} = \frac 12 x\frac{\partial H}{\partial p}$$

Entonces:

$$\left<E\right> = \left<T\right>+\left<U\right> = \frac 12\left<p\frac{\partial H}{\partial p}\right> + \frac 12 \left<x\frac{\partial H}{\partial x}\right> = \frac 12 k_B T + \frac 12 k_B T = k_BT$$

Otra manera de decir esto es que cada grado cuadrático del Hamiltoniano contribuye con $\frac 12 k_B T$ a la energía, en este caso tenemos 2 términos cuadráticos, con lo cual, todo contribuye a la energía con $k_B T$.

Saludos!

[Aer]

Re: Ley de equipartición de la energía, dudas

Muchas gracias. Veo la lógica de tu razonamiento pero no tengo conocimientos sobre el Hamiltoniano. Me gustaría profundizar un poco sobre como se llega a esa expresión del teorema de equipartición de la energía tal como tu lo has expresado. Yo sólo había leído una explicación muy básica, donde se calculaba la energía de las partículas de un gas ideal que se desplazan en una componente determinada, llegando al resultado E_de esa componente = kT/2. Podrías aconsejarme algún libro o explicarme un poco sobre lo que has mencionado del Hamiltoniano?. Gracias y perdona mi ignorancia :P

[arreldepi]

Re: Ley de equipartición de la energía, dudas

Hola, no te preocupes, es normal que no sepas lo que es un Hamiltoniano. Pero ya te digo, que en este caso, puedes pensar que el Hamiltoniano es exactamente la energía total del sistema. La demostración del teorema de equipartición no es fácil si no se sabe un poco de física estadística. Yo es la única demostración que conozco, pero quizás haya otra más sencilla.

Quizás te puedas guiar un poco por lo último que te he dicho, que cada componente cuadrática de la energía, contribuye con kT/2 a la energía en promedio total.

Los libros en los que se explica qué es un Hamiltoniano quizás sean un poco densos (dependiendo del nivel que tengas de física y matemáticas), aunque para entender el teorema de equipartición tampoco es esencial entenderlo. El mismo enlace de la wikipedia que has puesto en inglés, da alguna pincelada y lo explica bastante bien.

Saludos!

[Aer]

Re: Ley de equipartición de la energía, dudas

No me importa que sean densos jeje, tengo mucho tiempo libre. Voy a buscar a ver si encuentro algún buen libro de física estadística.
Sobre lo del nivel de física y matemáticas, pues recién empezando. Acabo de terminar mi primer año de ingeniería y me ha picado mucho el gusto por la física, y como en ingeniería no hemos profundizado mucho en ese tema (ya te digo, es el primer año, no sé si la cosa cambiará después) , pues ya tengo ocupación para mi tiempo libre.

[arreldepi]

Re: Ley de equipartición de la energía, dudas

Pues para el Hamiltoniano te recomiendo el Goldstein (si quieres entenderlo muy muy muy bien ) o el Marion. Para física estadística está bien el Pathria. Aunque si no has visto todavía nada de termo te sonará a chino. Seguramente en algún libro de termodinámica hablen del principio de equipartición aunque sea de forma simplificada.

[Aer]

Re: Ley de equipartición de la energía, dudas

Muchas gracias arreldepi, a ver si les puedo echar un vistazo y vuelvo con más dudas!

[guibix]

Re: Ley de equipartición de la energía, dudas

Buenas,

Sólo quería hacer un pequeño apunte:

Un oscilador armónico simple siempre tiene la energía cinética media igual a la energía potencial media, por lo que los dos son la mitad de la energía total.

Saludos.