Divulgación Cambio de Calor

[Esteban Duran]

Demostrar que para un cilindro la relación entre el cambio infinitesimal del calor $Q$, conductividad térmica $k$ y la temperatura del entorno y la del mismo está dada por:


$\frac{dQ}{ dt}=2 \pi Lk(\frac{T_a-T_b}{ln(b/a) })$

Donde $a$ es la temperatura del entorno y $b$ la del cilindro (es decir, la temperatura mayor)..


Ayuda por favor, saludos (:

[oscarmuinhos]

Re: Cambio de Calor



La velocidad del flujo de calor es proporcional al área que atraviesa, proporcional a la diferencia de temperatura e inversamente proporcional a la distancia. Expresando esto a través de una ecuación diferencial, se tiene:
$\frac{dQ}{dt} = \hat{Q} = k A \frac{dT}{dr}$ (1)
si el calor ha de pasar desde el interior del cilindro hacia afuera o desde afuera hacia adentro, es fácil de ver tomando una superficie cilíndrica de radio r, la superficie a considerar vendrá dada por: A = 2\pi r. L, siendo L la longitud de esta superficie cilíndrica, con lo que, substituyendo en (1):

$\hat{Q} = 2 k \pi r. L \frac{dT}{dr}$

Separando variables e integrando:
$\hat{Q} \frac{dr}{r } = 2 k \pi L dT$
Integrando entre el radio interior e el radio exterior y entre temperatura interior y temperatura exterior, se llega a la ecuación de la velocidad del flujo de calor entre dos superficies dilíndiricas de un material de conductividade térmica k:
$\hat{Q} ln\frac{{R}_{b}}{{R}_{a} } = 2 k \pi r. L ({T}_{b }-{T}_{a})$