Otras carreras ¿Demostración de la ecuación de la velocidad del sonido?

[wanchufri]

Hola!

No sabía si escribir este tema en " Fluidos y medios continuos " o en " Termodinámica ". Creo que es algo "intermedio" entre ambas ramas.

Llevo escuchando varios años en la universidad que la velocidad del sonido para un gas es, por definición:

a² = (∂p/∂ρ)|s

(La velocidad al sonido al cuadrado es igual a la derivada de la presión respecto de la densidad a entropía constante)

Mi pregunta para vosotros es ¿Por qué?.

quiero entender muy bien todo esto, no me siento conforme con tragarme esa definición, porque es algo que no me convence. Es cierto que el sonido se propaga en condiciones normales a unos 340 m/s y es cierto que a partir de esa fórmula podemos obtener dicho valor, pero, por qué es justo esa ecuación? la descubrieron de casualidad porque tenía dimensiones de velocidad?

El sonido tengo entendido que es así como una pequeña perturbación que se transmite con ciertas velocidad, pero por qué es justo el cuadrado de esa derivada a entropía constante?

Por favor me encantaría poder entenderlo, nos os cortéis con las herramientas matemáticas ni con la terminología física.

Un saludo a todos y enhorabuena por llevar este magnífico foro.

[oscarmuinhos]

Re: ¿Demostración de la ecuación de la velocidad del sonido?

El sonido (que físicamente consiste en un movimiento oscilatorio de las moléculas de un medio material que se propagan linealmente en la dirección de la oscilación) para propagarse necesita de un medio material y su velocidad depende de las propiedades elásticas de dicho medio.
En el caso de la propagación del sonido en gases puede demostrarse que, efectivamente, la velocidad depende de la comprensibilidad y de la densidad del gas. dando lugar (en el supuesto de considerar un comportamiento ideal y adiabático) a la expresión que tu pones:

${v}^{2 }= \frac{\partial p}{\partial \rho}$

- - - Actualizado - - -

Ah! Y la demostración(más o menos exhaustiva) puedes encontrarla en cualquier manual elemental de física universitaria que dedique algún capítulo al movimiento ondulatorio.
suerte

[wanchufri]

Re: ¿Demostración de la ecuación de la velocidad del sonido?

Hola!
Hace unos meses abrí este tema para que alguien me dijese de dónde sale esa ecuación! agradezco mucho la respuesta de oscarmouinhos pero no me sirvió de mucho ya que todo eso lo sabía.

Tras consultar a un profesor de Termodinámica, obtuve la respuesta que estaba buscando. Resulta que, como sabemos, el sonido no es más que ligeras perturbaciones de la presión.

Si suponemos estas perturbaciones pequeñas frente al valor característico de la presión en reposo, y despreciamos los términos cuadráticos de las perturbaciones en las ecuaciones de Navier-Stokes de Mecánica de Fluidos (Continuidad, cantidad de movimiento y energía particularizada para la entropía), podemos operar hasta llegar que las perturbaciones de presión verifican la ecuación de ondas, siendo la velocidad de propagación de las ondas precisamente la raíz cuadrada de la derivada de la presión respecto a la densidad a entropía constante, es decir, para el caso unidimensional:

∂²P'/∂t² - ((∂p/∂ρ)|s)·∂²P'/∂x² = 0

y estudiando las propiedades de esta ecuación, obtenemos justo la velocidad del sonido. Ya luego podemos particularizar para el caso de un gas perfecto o un gas real con ecuación de estado conocida.

Un saludo a todos y gracias por este magnífico foro.