1r ciclo Aire escapa habitación

[neometalero]

Buenas tardes foreros, os propongo un ejercicio de termodinámica.
Una habitación de volumen ${V}_{0 }$ contiene aire de masa molar {m}_{M }. Si la temperatura de la habitación sube de T1 a T2, calcula la masa de aire que sale de la habitación si la presión se mantiene constante en el valor {P}_{0 }.

El volumen cambia? Porque el de la habitación no pero si sale gas, si cambiará el de éste. Cambia también el número de moles? Como $n=\frac{{m}_{M }}{M }$, si n cambia, cambia la masa molar también? Yo había planteado la ecuación del gas ideal para ambas situaciones, despejado los volumenes y hallado la resta pero eso no concuerda con la solución propuesta, que es:
${m}_{a }=\frac{{m}_{M }{P}_{0 }{V}_{ 0}({T}_{2 }-{T}_{1 })}{ R.{T}_{1 }{T}_{2 }}$
Gracias por cualquier sugerencia

[Rodri]

Re: Aire escapa habitación

La masa molar de una sustancia pura (donde todas las moléculas son iguales) es la masa que tiene un mol de esa sustancia (es decir 6,023e23 multiplicado por la masa de la molécula de la sustancia) . Esa masa es la misma con independencia de la temperatura y la presión, ya que el número de moléculas que tiene un mol es siempre el mismo (6,023e23).
En realidad el aire no es un gas puro sino que se compone de un 78% de nitrógeno, un 21% de oxígeno y un 1% de otros gases en proporción ligeramente variable. Sin embargo para cálculos como el del problema podemos definir la "masa molar equivalente" del aire como la una masa molar ponderada por el peso de cada componente puro de la mezcla (o sea su "fracción molar"), de forma que es como si fuera un gas puro con una masa molar definida (igual a 0,78x (masa molar del nitrógeno) + 0,21x(masa molar del oxígeno) + ...).

Aclarada esta idea y la ecuación de estado de los gases ideales PV=nRT (donde n es el número de moles) se puede resolver fácilmente el problema.

Lo he hecho rápido y me sale diferente que la solución propuesta:

$\Delta m = \frac{P_{0}V_{1}m_{M}(T_{2}-T{1})}{ RT_{1}^{2}}$

[oscarmuinhos]

Re: Aire escapa habitación

Aunque sea muy tardíamente añado alguna aclaración por si puede servir para algún otro u otra visitante.
Conviene aclarar que el volumen disponible que tiene el aire no cambia porque el aire que haya, mucho o poco, va a ocupar toda la habitación. Lo mismo ocurre (por si ayuda a aclarar conceptos) cuando se vacía una bombona, pongamos de butano. La bombona nunca queda vacía, siempre queda butano dentro de la bombona. Lo que ocurre es que ese butano que queda no tiene presión suficiente para vencer la presión externa (saldrá butano hasta que se igualan la presión que ejerce el gas y la presión externa) y, lo mismo que pasa con el aire de la habitación, al calentar una bombona "vacía" con la llave abierta saldrá parte del butano que quedaba hasta que de nuevo se igualen las presiones.
Así pues, el volumen disponible para el aire no ha cambiado (a menos que saques entres o salgas de la habitación o metas o saques cosas de la habitación).
Dicho esto, al aplicar la ecuación de los gases ideales:
- con la habitación a la temperatura ${T}_{1 }< {T}_{2}$:
${P}_{0 }.{V}_{0 }= {n}_{1 }.R.{T}_{1}$

-con la habitación a la temperatura ${T}_{2 }$, siendo idénticas las condiciones de presión y volumen:
${P}_{0 }.{V}_{0 }= {n}_{2 }.R.{T}_{2}$

Despejando ${n}_{1 }$ y ${n}_{2 }$ y restando para saber los moles de aire que salieron:
${n}_{1 } - n{}_{2 } =\frac{{P}_{0}{V}_{0}}{R}\left(\frac{1}{{T}_{1}}-\frac{1}{{T}_{2} } } \right)$

Solo queda multiplicar por la masa molar del aire (promediada de la forma que muy bien explicaba el mensaje anterior de Rodri) y tienes la masa:
$\Delta m$ = $\frac{{P}_{0}{V}_{0}}{R}\left(\frac{1}{{T}_{1}}-\frac{1}{{T}_{2} } } \right).{M}_{aire}$