2o ciclo Volumen fásico (Colectividad microcanónica)

[trifisica]

El problema que tengo que resolver es el siguiente
Considérese un sistema aislado compuesto por una sola partícula cuyo Hamiltoniano
es:
$h=\frac{1}{2m }({{p}_{x }}^{ 2}+{{p}_{y }}^{ 2}+{{p}_{z }}^{ 2})+\alpha\sqrt{{x}^{ 2}+{y}^{ 2}+{z}^{ 2}}$

a) Obténganse el volumen fásico y el número de microestados.

El volumen fásico se calcula como $\Phi (E,\alpha,1)=\frac{1}{{h}^{3N } }\int dqdp \delta [E-H(q,p)]$
Una vez calculado, el número de microestados es la derivada parcial de esta expresión frente a E.

El problema es que no soy capaz de solucionar esta integral. Si alguien me pudiera ayudar, se lo agradecería mucho

[Rodri]

Re: Volumen fásico (Colectividad microcanónica)

Creo que la expresión que das para el volumen fásico no es correcta: falta la integración con respecto a la energía:

$\Phi(E,\alpha,1)=\frac{1}{h^{3N} }\int_{0}^{E} dE' \int \delta[E'-H(p,q)]dpdq$

Ahora tenemos en cuenta que la integral de la delta de Dirac es la función escalón:

$\int_{0}^{E} \delta[E'-H] dE' = u(H)-u(H-E) = rect_{0,E}(H)$ , donde

$u(x)=0$, para x <0
$u(x)=1$, para x $\geqslant 0$
$rect_{a,b}(x)=0$ , para x fuera de (a,b)
$rect_{a,b}(x)=1$ , para x dentro de (a,b)

Así, integrando primero respecto a E' en la expresión del volumen fásico:

$\Phi(E,\alpha,1)=\frac{1}{h^{3N} }\int_{0}^{E} dE' \int \delta[E'-H(p,q)]dpdq = \frac{1}{h^{3N} } \int rect_{0,E}[H(p,q)]dpdq$

Fíjate que el integrando es la unidad para valores (p,q) del espacio fásico que producen un valor del hamiltoniano menor que E y es cero para el resto, es decir, la integral se extiende a un dominio acotado del espacio (p,q):

$\Phi(E,\alpha,1)= \frac{1}{h^{3N} } \int_{H(p,q)<E} dpdq$

Esta es una integral de volumen en el espacio 6-dimensional, en el dominio $(p_{x},p_{y},p_{z},x,y,z)$ tal que

$\frac{1}{2m}(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2})+\alpha \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}<E$

A partir de aquí, te animo a que intentes calcular la integral.