1r ciclo variación máxima de entropía para ciertas fracciones molares

[sater]

Buenas. Tengo este ejercicio que es de un examen final de química, os dejo el enunciado:
Demuestre que el valor máximo de variación de la entropía en un proceso isotérmico de
mezcla de dos gases ideales con idénticas presiones iniciales para obtener un mol de mezcla,
corresponde a unas fracciones molares 0.5 para ambos. Cuantifique el valor máximo del cambio
de entropía.

Lo primero que he hecho es sacar la variación de entropía:
Como es isotermo la variación de la energía interna es cero $\Delta U=Q+W=0$ (se suman pues es el criterio que seguimos en química, creo que es distinto al de física) , así pues $Q=-W$
$\dd Q=-\dd W=P\cdot \dd V$
y de aquí en la fórmula $\dd S=\frac{\dd Q}{ T}$ saco al ser gases ideales que
$\Delta S=n\cdot R \cdot ln(\frac{{V}_{f }}{ {V}_{i }})$.

Y a partir de aquí no se seguir. Supongo que debo dejarlo en forma de fracciones molares para derivar buscar un máximo y sacar que es cero con cinco, pero al dejarlo en forma de fracciones molares me queda esta expresión $n \cdot R\cdot ln(2 \cdot {x}_{ A})$ que debe estar mal pues la derivada no se anula, o directamente no tendría que tirar por ahí.
Pd: los diferenciales de calor y trabajo son inexactos.
Gracias de antemano, un saludo

[oscarmuinhos]

Re: variación máxima de entropía para ciertas fracciones molares

Pero tú de esta forma estás considerando que tienes un gas ideal con un componente solo...no una mezcla ideal de dos gases ideales.

Tienes que hacer esto mismo para cada componente del gas y tendrías entonces que la entropía de la mezcla te vendría dada por la suma.

$\Delta{s}_{mezcla }={n}_{1 }.R.ln\left(\frac{{V}_{1 }}{V} \right) + {n}_{2}.R.ln\left(\frac{{V}_{2 }}{V} \right)$

A continuación introduces las fracciones molares, teniendo en cuenta, dado que la mezcla es ideal,
que ${V}_{1}=\frac{{n}_{1}RT}{P}$, que ${V}_{2}=\frac{{n}_{2}RT}{P}$ y que $V=\frac{n.R.T}{P}$

Una vez que hayas introducido la fracción molar de cada componente en lugar de los volúmenes parciales, divides entre el numero de moles totales y te queda ya la entropía correspondiente a un mol de mezcla en función solo de las respectivas fracciones molares de los dos componentes.

Y, después de poner todo en función de la fracción molar de un solo componente, (${x}_{1}+{x}_{2}=1$), solo te queda imponer la condición de maximización que sabes de las matemáticas

Ánimo y suerte

[sater]

Re: variación máxima de entropía para ciertas fracciones molares

Muchas gracias! mañana lo volveré a coger y comento después el resultado; gracias!

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Vale, ¡me ha salido! jaja
Muchas gracias, un saludo y feliz año!