1r ciclo Determinar el calor en un cilindro

[jssln]

Me podria explicar alguien como calcular este ejercicio.

Un cilindro cerrado, que contiene un gas ideal monoatomico, esat dividido por un piston en dos partes iguales de longitud L = 42 cm y area A = 30 cm² cada una. La temperatura de ambas mitades es de T₀ = 27 ⁰C, la presion es p₀ = 1 atm. Una parte del cilindro se mantiene aislada adiabaticamente, mientras que la otra parte se calienta hasta que el piston se mueve una distancia x = 2 cm. Determina el calor, Q, aportado. Exprese el resultado en Julios.

[oscarmuinhos]

Re: Determinar el calor en un cilindro

El cilindro es el mismo que ya apareció en un hilo tuyo, pero ahora el proceso que sufre el otro compartimento es una compresión adiabática, cuando antes era isotérmica.
Empezamos calculando la presión, el volumen y la temperatura finales en los dos compartimentos:


Sobre la figura anterior, el gas del compartimento derecho pasa de unas condiciones iniciales $(P_0, V_0, T_0)$ a otras condiciones $(P_1, V_1, T_1)$ y el de la iquierda pasa desde las mismas condiciones iniciales $(P_0, V_0, T_0)$ a las condiciones $(P_1, V', T')$. Aplicando la ley de los gases a cada compartimento se tiene:

Compartimento de la derecha: $\dst \frac{P_0.V_0}{T_0 }= \frac{P_1.V_1}{T_1 }$

Compartimento de la izquierda: $\dst \frac{P_0.V_0}{T_0 }= \frac{P_1.V'}{T' }$

Siendo iguales las condiciones iniciales para ambos compartimentos, se tiene:

$\dst \frac{P_1.V'}{T' } = \frac{P_1.V_1}{T_1 }$, en la que, al ser iguales las presiones se cancelan:

$\dst \frac{V'}{T' } = \frac{V_1}{T_1 }$ (1)

Tenemos así una primera relación para poder calcular $T'$ y $T_1$.

Necesitamos otra ecuación. Esta puede ser cualquiera de las ecuaciones de la adibática del compartimento de la izquierda: $\dst P_0.V_0^\gamma = P_1.V'^\gamma$, donde $\dst \gamma$, por ser un gas monoatómico vendrá dado por:

$\dst \gamma = \frac{C_P}{C_V }= \frac{5/2.R}{3/2R} = 5/3$

. Con esta ecuación se puede calcular $P_1$ (que, evidentemente, ha de ser la misma para los dos compartimentos) y, a continuación, con la ley de los gases se calcula $T'$ y con esta $T'$ y la relación (1) se calcula $T_1$.

Queda ahora calcular el calor necesario:

Desde el primer principio de la Termodinámica aplicado al compartimento de la derecha (que es el que calentamos): $dU = \delta Q + \delta W$ (criterio de signos: $Q$ y $W$ positivos si aumentan la energía interna del sistema).

De esta ecuación anterior, despejando el calor: $\delta Q = dU - \delta W$; o, en su forma integrada, $Q = \Delta U - W$ (2)

Habrá, pues, que calcular la variación de energía interna

Para la energía interna, por la suposición de comportamiento ideal: $du = n. C_v.dT$ e integrando

$\Delta U = n.C_V (T_1 - T_0)$, (3)

donde el número de moles, $n$, se calcula a partir de las condiciones iniciales con la ecuación de los gases: $P.V = n.R.T$

Para calcular el trabajo, $\delta W = -{P}^{ext}. dV$, donde ${P}^{ext}$ es la presión que tiene que vencer el pistón en su desplazamiento y que, evidentemente, será la presión del compartimento izquierdo del pistón. Para poder hacer la integración y calcular el trabajo, habrá que poner esta presión externa en función del Volumen del compartimento de la derecha. Para esto, llamando $V$ al volumen del compartimento derecho y $V'$ al volumen del compartimento izquierdo:

-por la ecuación de la adiabática del compartimento de la izquierda: $\dst P_0.V_0^\gamma = {P}^{ext }.V'^\gamma = {P}^{ext}.(2V_0 -V)^{\gamma}$

$\dst {P}^{ext} = \frac{P_0.V_0^\gamma}{(2V_0 -V)^\gamma}$, con lo cual:

$\dst W = -{\int}_{V_0 }^{V_1} \frac{P_0.V_0^\gamma}{(2V_0 -V)^\gamma}.dV$ (4)

Llevando los resultados (3) y (4) a la ecuación (2), tendrás el calor que te piden.

Saludos

[jssln]

Re: Determinar el calor en un cilindro

Tengo un problema al calcular t1 pues me sale que p1 es 1.08 atm, que v1 es 0.126 y siendo r igual a 0.082 y n 1, t1 me sale de 1 Kelvin, que es lo que hago mal?

- - - Actualizado - - -

Creo que es en n, que la tengo que calcular de las condiciones iniciales

[oscarmuinhos]

Re: Determinar el calor en un cilindro

Efectivamente que el número de moles se calcula a partir de los datos iniciales que te da el enunciado:

donde el número de moles, , se calcula a partir de las condiciones iniciales con la ecuación de los gases:

Y a mi me da un valor de $n = 5,122 \times 10^{-2}$ mol en cada compartimento

saludos