1r ciclo Hallar ecuación de estado de un sistema paramagnético

[angel relativamente]

Hola compañeros, tengo un problema (de la asignatura de termodinámica, por eso lo pongo en esta sección) que dice lo siguiente:

Para un sistema paramagnético se ha determinado de forma empírica que al variar el campo magnético externo, las siguientes derivadas parciales se pueden expresar como

$$\dst \left( \dfrac{\partial M }{\partial H}\right)_T = \dfrac MH \left( 1 - \dfrac{M}{M_0} \right), \quad \left( \dfrac{\partial T }{\partial H} \right)_M=\dfrac TH$$

Donde $M_0$ es una constante

Me pide:

a) Demostrar que estas expresiones son compatibles

No sé realmente a qué se refiere con eso. ¿Quizá alguna propiedad del estilo que las derivadas cruzadas son iguales?

b) Determinar la ecuación de estado

Lo que hago son las inversas de las derivadas para así poder considerar una función $H(M,T)$ a la cual le puedo calcular su diferencial total

$$\dd H=\left( \dfrac{\partial H }{\partial M}\right)_T \dd M + \left( \dfrac{\partial H }{\partial T}\right)_M \dd T \; \Rightarrow \; \dfrac{\dd H }{H}=\dfrac{1}{M} \left( \dfrac{M_0}{M_0-M} \right) \dd M + \dfrac{\dd T}{T}$$

De aquí integro la expresión para un camino de $M=\text{cte}$ y obtengo que $\log H=\log T + B(M)$, donde B es una función que depende de M. Derivando esta ecuación con respecto a M a T cte se tiene que $HB'(M)= \left( \dfrac{\partial H }{\partial M}\right)_T$. Igualando con el valor que da el enunciado tengo que

$$B'(M)=\dfrac{1}{M} \left( \dfrac{M_0}{M_0-M} \right) \quad \Rightarrow \quad B(M)=-\log \left( \dfrac{M-M_0}{M} \right)+\log C$$

En consecuencia tengo que la ecuación de estado será $H=\dfrac{TM}{M-M_0}+C$

¿Está bien lo que he hecho? Me molesta esa constante que me queda suelta. En otros problemas de determinar la ecuación de estado me dan unas condiciones de contorno pero aquí no.

Un saludo y gracias de antemano

[[Beto]]

Re: Hallar ecuación de estado de un sistema paramagnético

Hola, sobre la parte (a) .. no sabría decirte a que se refieren ... en la parte (b) que no te inquiete la constante, un material paramagnético si mal no recuerdo tiene un momento magnético permanente, y esa constante debe ser el campo asociado a ese momento magnético que tiene al inicio.

[oscarmuinhos]

Re: Hallar ecuación de estado de un sistema paramagnético

En consecuencia tengo que la ecuación de estado será $H=\dfrac{TM}{M-M_0}+C$

¿Está bien lo que he hecho?

Hola Angel
Solo una objeción: la constante C no debiera estar multiplicando?

No debería ser $H=C.\dfrac{TM}{M-M_0}$?

[angel relativamente]

Re: Hallar ecuación de estado de un sistema paramagnético

Hola Angel
Solo una objeción: la constante C no debiera estar multiplicando?

No debería ser $H=C.\dfrac{TM}{M-M_0}$?

Tienes razón Óscar, ¡muchas gracias a ambos!

Mañana le preguntaré al profesor lo que pide en el primer apartado si nadie sabe nada.

Un saludo,

[oscarmuinhos]

Re: Hallar ecuación de estado de un sistema paramagnético

Y por otra parte para saber el significado de esa constante C debes de integrar entre un estado de referencia A y un estado general

La integración te quedaría entonces:

$\dst ln \frac{H}{H_A} = ln \frac{M}{M_A} - ln \frac{M_0 - M}{M_0 -M_A } + ln \frac{T}{T_A }$

de donde:

$\dst \frac{H}{H_A}= \frac{T}{T_A}\frac{M}{M_A}.\frac{M_0 - M_A}{M_0 -M}$, o sea

$\dst H =H_A.\frac{M_0 - M_A}{T_A }. \frac{T.M}{M_0 - M}$

[angel relativamente]

Re: Hallar ecuación de estado de un sistema paramagnético

¡Gracias! Ya lo entiendo.
Le he preguntad hoy al profesor sobre el primer apartado y en efecto solo tenía que ver que verificaban que las derivadas cruzadas eran iguales.

[oscarmuinhos]

Re: Hallar ecuación de estado de un sistema paramagnético

Pues gracias también porque a mi la pregunta sobre el primer apartado me pasaba como a ti...Evidentemente que las derivadas cruzadas tienen que ser iguales para ser compatibles (condición necesaria) para que la entalpía pudieras ser función de estado, pero como el enunciado dice demostrar que son compatibles (y no comprobar si pueden ser compatibles) me hizo pensar en que habría que demostrar algo más...
Gracias