1r ciclo Problema de advección térmica

[InesIncinerate]

Antes que nada, éste es un problema de meteorología. Como trata del transporte de temperatura, he pensado que este era el subapartado más adecuado. Si creéis que no, movédmelo a otro lado . El enunciado dice así:

"Considera la ciudad A donde, en un momento dado, se registra una temperatura $T_A$. En la ciudad B, situada a una distancia L al sur de ésta, la temperatura observada en el mismo instante es $T_B$. El viento sopla del sureste con una intensidad v. Que se ha de cumplir para que la diferencia de temperaturas se reduzca a la mitad transcurrido un tiempo $\delta t$?"

Mi intento de solución es el siguiente:
Escribimos la ecuación de la advección térmica:

$\frac{\delta T}{\delta t} = -(v_x\cdot \frac{\delta T}{\delta x}+v_y\cdot \frac{\delta T}{\delta y} )$

Como solo conocemos la diferencia de temperatura en la dirección del eje y, la reducimos a:

$\frac{\delta T}{\delta t} = -(v_y\cdot \frac{\delta T}{\delta y} )$

Y, asumiendo que el gradiente de temperatura tiene una pendiente constante, la aproximamos así:

$\frac{\delta T}{\delta t} = -(v\cdot sin(\alpha )\cdot \frac{ \Delta T}{\Delta y} ) = -v\cdot sin(\alpha )\cdot \frac{T_B - T_A}{L}$

Si establecemos la variación de la temperatura local para las dos ciudades, tenemos:

$\frac{\delta T_B}{\delta t} = -v \cdot sin (\alpha )\cdot \frac{\Delta T}{L}$

y

$\frac{\delta T_A}{\delta t} = v \cdot sin (\alpha ) \cdot \frac{\Delta T}{L}$

Si ahora queremos deducir la variación en el tiempo de la diferencia de temperaturas, restamos la segunda ecuación de la primera y operamos integrando entre $(\Delta T)_0$ y $(\Delta T)_f$, y $t_0 = 0$ y $t_f = t$, respectivamente:

$\frac {\delta (T_B - T_A)}{ \delta t} = -2\cdot v\cdot sin(\alpha )\cdot \frac{\Delta T}{L}$

$\frac {\delta (\Delta T)}{ (\Delta T)} = -2\cdot v\cdot sin(\alpha )\cdot \frac{1}{L}\cdot \delta t$

$ln\frac{(\Delta T)_f}{(\Delta T)_0} = \frac{-2}{L}\cdot v\cdot sin(\alpha )\cdot t$

Imponemos la condición del enunciado:

$(\Delta T)_f = \frac{1}{2}(\Delta T)_0$

Y obtenemos la ecuación que se tiene que cumplir para que esto suceda:

$ln\frac{1}{2} = \frac{-2}{L}\cdot v\cdot sin(\alpha )\cdot t \Longrightarrow t=-\frac{L\cdot ln\frac{1}{2}}{2v\cdot sin(\alpha )}$

Pero mi problema viene aquí:

Como $sin (\alpha) =-\frac{\sqrt{2}}{2}$ (siendo el ángulo la dirección del viento tomando el norte como el inicio de la circunferencia), los signos negativos se anulan y obtenemos un tiempo positivo, como debería ser:

$t=\frac{L\cdot ln\frac{1}{2}}{\sqrt{2}\cdot v}$

Sin embargo, $ln \frac{1}{2}$ también tiene un signo negativo, y el valor del tiempo vuelve a perder su sentido. ¿Véis el error en mis cálculos?

[arivasm]

Re: Problema de advección térmica

No tengo ni idea de vientos, pero me huele que al meter el seno negativo, por tomar el sentido positivo del eje Y hacia el N, quizá no estés tomando en consideración que $\Delta y=-L$, es decir, $y_B-y_A=-L$

[InesIncinerate]

Re: Problema de advección térmica

Ostras, pues claro. No me había fijado en que había cogido sentidos opuestos para $\Delta T$ y $\Delta y$. Vaya error más tonto. ¡Gracias arivasm!