1r ciclo Proceso isotermo con contacto térmico

[javirk]

Hola, tengo un problema que no sé si sé resolver bien, a ver si me podéis ayudar, pongo primero el encunciado y después lo que yo haría:

Enunciado:

Un gas diatómico ideal se encuentra encerrado en un pistón con émbolo móvil. Las paredes son aislantes, excepto su base, que es un disco de metal de conductividad térmica $\kappa$, superficie $S$ y grosor $e$, a través del cual el gas intercambia calor. Inicialmente el gas se encuentra en unas condiciones $P_i$, $V_i$ y $T_i$, mientras el exterior puede considerarse como un foco caliente a temperatura $T_c$. El calor entra por contacto térmico, pero pretendemos que el proceso se realice manteniendo la temperatura constante. Para ello, debemos ir moviendo el émbolo del pistón:

a) ¿Cuáles serían las condiciones del gas al cabo de un tiempo t? ¿Cuánto habrá variado la entropía total en ese tiempo?
b) ¿Cuál es la velocidad, en función del tiempo, con la que debemos mover el émbolo?


Lo que yo haría:


$\frac{dQ}{dt} = \kappa S \frac{T_i-T_c}{e}$

$\Delta Q = \kappa S \frac{T_i-T_c}{e} \int_0^t dt$

La energía intercambiada en forma de calor en un proceso isotermo es:
$\Delta Q = n R T_1 ln(\frac{V_f}{V_i})$

E igualar, pero eso creo que no da nada y además no estoy nada seguro de que se pueda hacer.

Un saludo y gracias de antemano.

[Rodri]

Re: Proceso isotermo con contacto térmico

Yo diría que tu planteamiento está bien encaminado.

En este problema se da a entender que la conductividad del gas es mucho más alta que la del material del pistón, de forma que el calor que alcanza el gas se difunde con mucha rapidez en el seno de éste y la temperatura puede considerarse homogénea en el gas, cosa que no sucede a lo largo del espesor del pistón. En el pistón existirá un gradiente térmico a lo largo de su grosor, desde la superficie externa (a temperatura $T_{C}$) hasta la interna (a temperatura $T_{i}$). Esta situación no es de equilibrio en el sistema global, pero sí es estacionaria en cuanto a la distribución de temperatura local.
Sin embargo, si nos limitamos al gas, el proceso isotermo sí puede tratarse como cuasiestático, de forma que en todo instante el gas puede considerarse en un estado de equilibrio, con valores bien definidos de temperatura y presión, a medida que el gas realiza una expansión isotérmica. La temperatura será todo el tiempo $T_{i}$ y la presión será $P(t)=\frac{P_{i}V_{i}}{V(t)}$, teniendo en cuenta la ley de Boyle-Mariotte, con $V(t)$ el volumen en el instante $t$.

Tal como dices, la cantidad de calor absorbida por el gas en un tiempo $t$ será

$\Delta Q = \kappa\frac{S}{e}(T_{C}-T_{i})t$

Y para que el proceso en el gas sea isotermo deberá ser también

$\Delta Q=nRT_{i}ln\left( \frac{V(t)}{V_{i}} \right)=P_{i}V_{i}ln\left( \frac{V(t)}{V_{i}} \right)$

Y como dices, podemos igualar ambas expresiones:

$\kappa\frac{S}{e}(T_{C}-T_{i})t= P_{i}V_{i}ln\left( \frac{V(t)}{V_{i}} \right)$

, de donde podemos despejar

$V(t)=V_{i}exp\left( \kappa\frac{S}{e} \frac{T_{C}-T_{i}}{P_{i}V_{i} }t \right)$

Es decir, el volumen debe expandirse según una variación exponencial con el tiempo.

La variación de entropía vendrá dada directamente por

$\Delta s (t) =\frac{\Delta Q(t)}{T_{i}}$

Y la velocidad $u(t)$ del pistón será tal que

$dV(t)=S u(t)dt$

, por lo que será

$u(t)=\frac{1}{S}\frac{\mathrm{d} V(t)}{\mathrm{d}t }$

[javirk]

Re: Proceso isotermo con contacto térmico

Vale, muchas gracias, no estaba seguro del procedimiento y ahora veo que sé hacerlo, lo cual es un gran alivio Muchas gracias.

Lo único, que creo que ha sido una errata, es que a la expresión que has escrito de $\Delta Q$ ¿no le faltaría ser multiplicada por $T_i$? Quiero decir, en lugar de:
$\Delta Q=n R ln\left( \frac{V(t)}{V_{i}} \right)=\frac{P_{i}V_{i}}{T_{i}}ln\left( \frac{V(t)}{V_{i}} \right)$

Poner:
$\Delta Q=n R T_i ln\left( \frac{V(t)}{V_{i}} \right)=P_{i}V_{i} ln\left( \frac{V(t)}{V_{i}} \right)$

¡Un saludo!

[Rodri]

Re: Proceso isotermo con contacto térmico

Tienes razón. Ya lo he corregido.

Un saludo