1r ciclo Método de máxima verosimilitud

[Bustikiller]

¡Buenas!

Tengo un ejercicio en el que tengo que utilizar el método de máxima verosimilitud para estimar el valor de unos parámetros. No obstante, me quedo pillado en un paso; ahí va el enunciado:

"[...] Utilice el método de máxima verosimilitud para encontrar las fórmulas que definen los parámetros $T_0$ y $\alpha$ en la expresión: "

$$T(t) = T_0 e^{\alpha t}$$

He definido la función de máxima verosimilitud:

$$L = \prod_{i=1}^N T_0 e^{\alpha t_i}$$

Sacando logaritmos,

$$ln L = \sum_{i=1}^N ln (T_0 e^{\alpha t_i}) = N ln T_0 + \sum_{i=1}^N \alpha t_i$$

Se supone que ahora tengo que derivar respecto del parámetro cuya expresión quiero encontrar, igualar a cero, y despejar dicho parámetro. Sin embargo,

$$\frac{\partial ln L}{\partial \alpha} = \sum_{i=1}^N t_i = 0$$

¿Cómo despejo de ahí si ya me he quedado sin $\alpha$?

Muchas gracias y un abrazo

[angelfr]

Re: Método de máxima verosimilitud

Hola, estoy con la misma duda. Sé que se aplica a funciones de densidad de probabilidad. Quizás haya que multiplicar por $\Delta {t}_{i }$. Espero que alguien nos ayude.

Saludos

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[Bustikiller]

Re: Método de máxima verosimilitud

Bueno, muchas gracias por la respuesta!

De todas formas no me convence, no sé si la solución que has propuesto es una solución oficial, pero en la pregunta 1 (la que nos tiene en vilo) no se aplica el método de máxima verosimilitud a la función, sino que se realiza un ajuste lineal por el método matricial de mínimos cuadrados, para obtener la pendiente y la ordenada en el origen, y a partir de ahí obtener $T_0$ y $\alpha$.

Saludos!

[carroza]

Re: Método de máxima verosimilitud

Hola. El método de máxima verosimilitud requiere conocer previamente la función densidad de probabilidad del resultado medido, llamemosle $T_i$, en función del valor teórico $T(t_i)= T_0 \exp( - \alpha t_i)$.

Esa función de probabilidad puede venir dada por diversas funciones (poisson, gamma, exponencial, lorentziana, etc), pero con frecuencia (demasiada, para mi gusto), se utiliza una gaussiana. Si este es el caso, la función de verosimilitud viene dada por

${\cal L}(T_i; T_0, \alpha) = \Pi_i \exp( - \left({T_i-T(t_i) \over \sigma}\right)^2)$.

El logaritmo de la función de verosimilitud viene dado por

$l(T_i; T_0, \alpha) = - \sum_i \left({T_i-T(t_i) \over \sigma}\right)^2 =- \sum_i \left({T_i-T_0 \exp( - \alpha t_i) \over \sigma}\right)^2$.

Si derivais esto con respecto a $T_0$ y con respecto a $\alpha$, y lo igualais a cero, obteneis dos ecuaciones, que, curiosamente, no dependen de $\sigma$. A partir de ellas se obtiene (aunque no analíticamente) el valor de $P_0$ y $\alpha$

Un saludo