2o ciclo Problema con volumen fásico!!

[Albandres]

El problema que tengo que resolver es el siguiente:

Considérese un sistema aislado compuesto por una sola partícula cuyo Hamiltoniano es:



Necesito calcular el volumen fásico que se define como

Ya he visto que en un tema del año pasado se hablaba de este mismo problema y ya se que tengo que resolver la integral en el espacio 6-dimensional, en el dominio tal que .

Sin embargo, aún sabiendo eso no consigo resolverla.

He probado pasando primero a esféricas, y luego a unas coordenadas con las que llego a una integral de una función de dos variables en una superficie circular de radio \sqrt{E}. Sin embargo, al resolver esta el resultado me da cero.

Agradecería mucho que alguien me ayudase.

Gracias!
Andrés.

- - - Actualizado - - -

Por favor, sé que está mal insistir, y puede que aún más cuando se trata de pedir ayuda sobre algo que se supone debo saber hacer.
Sin embargo, es realmente importante y llevo muchas horas dedicadas a buscar que cambio de variable o "idea feliz" me arreglaría el problema.

Agradecería mucho algo de ayuda.

Andrés.

[arivasm]

Re: Problema con volumen fásico!!

Intentaré ayudar, aunque todo esto lo tengo muuuuuy oxidado.

En primer lugar, no veo por qué usando coordenadas esféricas te podría dar 0. El hamiltoniano que pones es $\dst h=\frac{p^2}{2m}+\alpha r$. Como para todo $p$ y $r$ es $h>0$ (recuerda que en coordenadas esféricas es $r\geq 0$ y $p\geq 0$) no es posible que la integral sea nula.

Si no me equivoco, integrando previamente sobre las coordenadas angulares tienes que los elementos de volumen son $4\pi p^2\dd p$ y $4\pi r^2\dd r$ y la integral que pones sería $\dst \frac{1}{h^3}\int_0^{\sqrt{2mE}} \left( \int_0^{\frac{1}{\alpha}(E-p^2/2m)} 4\pi r^2\dd r \right) 4\pi p^2\dd p$

De todos modos, no vendría mal que echase una mano alguien con los conocimientos más frescos.

[Rodri]

Re: Problema con volumen fásico!!

Creo que la solución que da arivasm es la correcta.
Se trata de hacer dos integrales de volumen en coordenadas esféricas, una dentro de la otra: una para el espacio tridimensional de las p y otra para el espacio tridimensional de las q. Como el hamiltoniano tiene simetría esférica con respecto a las p y a las q es posible integrar primero respecto de las variables angulares en cada uno de los espacios parciales tridimensionales (el de las p y el de las q) y lo único que hay que tener en cuenta es que el límite superior de integración en uno de los espacios parciales es función del valor puntual en el otro de los espacios parciales.

Solo una corrección: el exponente de la constante de Planck es 3N y no 3.

[arivasm]

Re: Problema con volumen fásico!!

Solo una corrección: el exponente de la constante de Planck es 3N y no 3.

Gracias Rodri. Yo puse N=1 porque el enunciado habla de una sola partícula

[gdonoso94]

Re: Problema con volumen fásico!!

La solución de Arivasm es correcta, pero no preguntes los entregables por el foro, que pierden la gracia :P.

Saludos.

P.D: estoy en tu clase .

- - - Actualizado - - -

Otra forma de hacerlo sería buscar un cambio de variable a unas coordenadas "pseudo-polares", pero no consigo verlo y he probado ya un par de cambios bastante obvios que no funcionan. Seguro que a algún forero se le ilumina .

Saludos

[Albandres]

Re: Problema con volumen fásico!!

Jajaja que casualidad. Yo he probado también con algo parecido a polares. Yo ya te he fichado por campus virtual. Si quieres lo hablamos el próximo día que nos veamos.

De todas formas, tranqui, pienso hacer alguno de los proyectos como evaluación continua.