1r ciclo Deducir potenciales termodinámicos

[Spock]

Hola. Me ha surgido un problema trabajando con potenciales termodinámicos y no logro averiguar cómo seguir avanzando. Conozco las expresiones de la energía interna U y de la presión p en función del volumen V y la temperatura T de un cierto sistema:

$U=cV{T}^{3}$
$p=\frac{c}{2}{T}^{3}$

Donde c es una constante.

Me piden deducir S (entropía), F (energía libre de Helmholtz), G (energía de Gibbs) y H (entalpía) en función de c, V y T.

He conseguido sacar la expresión de S utilizando $dS={\frac{\partial S}{\partial T}}_{v}dT+{\frac{\partial S}{\partial V}}_{T}dV$ y sabiendo que ${\frac{\partial S}{\partial T}}_{v}=\frac{1}{T}{\frac{\partial U}{\partial T}}_{v}$ y ${\frac{\partial S}{\partial V}}_{T}={\frac{\partial P}{\partial T}}_{v}$.

Si intento aplicar el mismo procedimiento basado en el uso de las ecuaciones fundamentales para potenciales como G, me encuentro con derivadas que no se resolver, como${\frac{\partial G}{\partial T}}_{v}$. Sospecho que las relaciones de Maxwell podrían servirme de algo, pero no logro avanzar.

Muchas gracias por vuestra atención

[Umbopa]

Re: Deducir potenciales termodinámicos

Usando la definición, como ya has calculado $S(T,V)$ y tienes $U(T,V)$ y $P(T,V)$

$H = U + P V$

$F = U - T S$

$G = H - T S$

[Spock]

Re: Deducir potenciales termodinámicos

Usando la definición, como ya has calculado $S(T,V)$ y tienes $U(T,V)$ y $P(T,V)$ $H = U + P V$ $F = U - T S$ $G = H - T S$

¡Cierto! Esta obcecado en la búsqueda de las derivadas parciales y se me olvidó intentar lo más básico, muchísimas gracias. En cualquier caso, ¿habría alguna forma sistemática de atacar derivadas como las que propongo al final del primer mensaje sin necesidad de pasar antes por la definición para seguir por el procedimiento que yo intentaba (mucho más largo e ineficiente)?

Todo este lío con las derivadas viene por dificultades que a menudo me encuentro trabajando con potenciales y relaciones de Maxwell, como las de este tipo: derivadas segundas de los potenciales termodinámicos igualadas a una cierta combinación de coeficientes termométricos y capacidades caloríficas que no se muy bien cómo manejar. Por ejemplo, una cuestión al margen del problema planteado pero que va en la misma línea, tengo claro que ${\frac{\partial T}{\partial S}}_{V}=\frac{T}{{C}_{V}}$, pues es equivalente a hacer la derivada parcial segunda de U respecto a S. Ahora bien, si me interesara hacer la derivada parcial segunda de S respecto a U (o lo que es lo mismo, [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ¿podría obtener una expresión equivalente a partir de la ecuación que ya conozco?

No sé si ha quedado clara la duda, pero cuestiones como las que planteo en este último párrafo me tienen un tanto agobiado. Cualquier indicación al respecto será bienvenida, no quiero causar molestias con la resolución explícita.

De nuevo, muchas gracias por la respuesta.

[Umbopa]

Re: Deducir potenciales termodinámicos

A ver, si entiendo bien tu pregunta inicial del primer post es que tu intentas hacer

$dG = \left( \frac{\partial G}{\partial T}\right)_V dT + \left( \frac{\partial G}{\partial V}\right)_T dV$, y aquí te quedas atascado no?

Parte siempre de las variables naturales de G o del potencial que quieres calcular, por ejemplo los variables naturales de G son P y T

$dG = V dP - S dT$

y si ahora quieres cambiar variables, por ejemplo a V y T, usas la ecuación de estado $P(V,T)$

$dP = \left( \frac{\partial P}{\partial V} \right)_T dV + \left( \frac{\partial P}{\partial T} \right)_V dT$ y los introduces en la ecuación anterior.

No se si esto te ayuda algo.

La pregunta que has puesto después no la entiendo muy bien, si la pones un poco más desarrollada intentaré respondértela.