1r ciclo Ecuación térmica de estado

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Hola buenas tardes, me preguntaba si me podrían ayudar, me piden obtener la ecuación térmica de estado $f(P,v,T)=0$ mas sencilla compatible con los siguientes coeficientes térmicos:

$\alpha =\frac{Pv^{2}}{RT^{2}(v+2b)}$ y
$\kappa_{T}=\frac{v^{2}}{RT(v+2b)}$

Siendo $v=V/n$ es el volumen molar, b es una constante y R las constante molar de los gases.

Primeramente he mirado si son compatibles estos coeficientes con la existencia de una ecuación térmica de estado haciendo las derivadas parciales cruzadas y si, es compatible.

Gracias, un saludo.

[Everett IV]

Re: Ecuación térmica de estado

¿Puedes escribir las ec. diferenciales que has deducido para ver que son compatibles?

[frunciopilato]

Re: Ecuación térmica de estado

Si partimos de que: $\alpha\equiv \ coeficiente \ de \ dilataci\acute{o}n \ t\acute{e}rmica$ y $k_{T}\equiv \ coeficiente \ de \ compresibilidad \ isotermo$ donde

$\alpha = \frac{pv^2}{RT^2(v+2b)}$
$k_{T}= \frac{v^2}{RT(v+2b)}$

donde $p\equiv presi\acute{o}n$; $v\equiv\ volumen \ molar \ \left(\frac{V}{N} \right)$; $V\equiv Volumen$; $N\equiv\ n\acute{u}mero\ de\ moles$; $T\equiv\ Temperatura$; y $b\equiv Cte.$

Lo primero que hay que hacer es fijarse en las expresiones. Considerando que $\alpha=\frac{1}{v}\left( \frac{\partial v}{\partial T}\right)_{p}$ y que $k_{T}=\frac{-1}{v}\left( \frac{\partial v}{\partial p}\right)_{T}$, podemos hallar la ecuación térmica de estado.
Partiendo de la siguiente expresión:

$\left( \frac{\partial v}{\partial T} \right)_{p}\left( \frac{\partial T}{\partial p} \right)_{v}\left( \frac{\partial p}{\partial v} \right)_{T}=-1$ $\ \ \ \ \ ^{(1.-)}$

calcularemos $\beta \equiv \ coeficiente \ piezot\acute{e}rmico\ \equiv \frac{1}{p}\left(\frac{\partial p}{\partial T} \right)_{v}$, de tal manera

$\beta=\frac{\alpha}{pk_{T}}=\frac{1}{T}=\frac{1}{p}\left(\frac{\partial p}{\partial T} \right)_{v}$

debido a que $\alpha=\alpha(T,v)$ podemos asegurar que $p=p(T,v)$, luego

$\left( \frac{\partial log|p|}{\partial T} \right)_{v}=\beta=\frac{1}{T}$

integras y obtienes que:

$log|p|=log|T|+log|\phi(v)|$

esto significa que:

$p=T\Phi(v)$ $\ \ \ \ \ \ ^{(2.-)}$

de la expresion $^{(1.-)}$ llegamos a que:

$\left( \frac{\partial p}{\partial v} \right)_{T}=-\frac{1}{vk_{T}}=-RT\left( \frac{1}{v^2+\frac{2b}{v^3}}\right)$

con lo que:

$\left( \frac{\partial \Phi(v)}{\partial v} \right)_{T}=-R\left(\frac{1}{v^2}+\frac{2b}{v^3} \right)$

luego,

$\Phi(v)=R\left(\frac{1}{v}+\frac{b}{v^2}+C \right)$

finalmente, sustituyendo sobre $^{(2.-)}$

$p=RT\left( 1+\frac{b}{v}\right)+CT$

Saludos.