Otras carreras Problema pistón émbolo, idea para resolver último literal

[wario0618]

El problema dice:

Un gas se expande en un dispositivo cilindro émbolo ( 250mm de diámetro) desde una presión inicial de 150 Kpa, la cual es debido a la masa del émbolo y la presión atmosférica (1 bar presión atm) y un volumen de 0.3$m^3$: hasta una presión de 250 Kpa y 0.8 $m^3$. Suponiendo que hay un resorte sobre el émbolo y que en la condición inicial no ejerce ninguna fuerza, se le pide lo siguiente

a) desarrollar una expresión que relacione P y V
b) El trabajo desarrollado por el gas mediante integración
c) la masa del embolo
d) el trabajo desarrollado en contra del peso del émbolo

del literal ''a al c'' ya los resolvi pero mi duda es el trabajo desarrollado en contra del peso del émbolo

si inicialmente mediante la presión atm y el peso del émbolo por su área ejercen la presión total exterior en su posición inicial donde el resorte solo lo está tocando al émbolo, entonces para mi segun lo que pienso tendría que encontrar el trabajo P$\Delta V$ que seria la presion atmosferica por el diferencial de volumen - el trabajo total que encontré en el literal b, sería así???

[JCB]

Hola a tod@s.

La presión externa que debe vencer el gas interior para desplazar al pistón es:

$p_{ext}=p_{atm}+\dfrac{mg}{S}+\dfrac{Ky}{S}$.

De las tres presiones, la única que varía es la del muelle.

El trabajo realizado por el gas interior es:

$\delta W=p_{ext}dV$. Integrando,

$W=\dst\int_{V_1}^{V_2}p_{ext}dV=\dst\int_{0}^{y}\left(p_{atm}+\dfrac{mg}{S}+\dfrac{Ky}{S}\right)Sdy$,

$W=p_{atm}Sy+mgy+\dfrac{Ky^2}{2}$.

El trabajo desarrollado en contra del peso del émbolo, es el segundo término $mgy$.

Notas:
$y=\dfrac{V_2-V_1}{S}=10,19 \ m$.
A partir de las condiciones iniciales: $m=\dfrac{\left(p_1-p_{atm}\right)S}{g}=250,45 \ kg$.
A partir de las condiciones finales: $K=\dfrac{\left(p_2-p_{atm}-\dfrac{mg}{S}\right)S}{y}=481,91 \ N/m$.

Espero no haberme equivocado. Lo repasaré.

Saludos cordiales,
JCB.

[wario0618]

Hola a tod@s.

La presión externa que debe vencer el gas interior para desplazar al pistón es:

$p_{ext}=p_{atm}+\dfrac{mg}{S}+\dfrac{Ky}{S}$.

De las tres presiones, la única que varía es la del muelle.

El trabajo realizado por el gas interior es:

$\delta W=p_{ext}dV$. Integrando,

$W=\dst\int_{V_1}^{V_2}p_{ext}dV=\dst\int_{0}^{y}\left(p_{atm}+\dfrac{mg}{S}+\dfrac{Ky}{S}\right)Sdy$,

$W=p_{atm}Sy+mgy+\dfrac{Ky^2}{2}$.

El trabajo desarrollado en contra del peso del émbolo, es el segundo término $mgy$.

Notas:
$y=\dfrac{V_2-V_1}{S}=10,19 \ m$.
A partir de las condiciones iniciales: $m=\dfrac{\left(p_1-p_{atm}\right)S}{g}=250,45 \ kg$.
A partir de las condiciones finales: $K=\dfrac{\left(p_2-p_{atm}-\dfrac{mg}{S}\right)S}{y}=481,91 \ N/m$.

Espero no haberme equivocado. Lo repasaré.

Saludos cordiales,
JCB.

Sólo me queda una duda porque de 0 a y en el integral? No sería desde el volumen uno que es 0.3 a 0.8?

[JCB]

Hola wario0618.

Efectivamente el volumen dentro del cilindro pasa de $V_1 \ (0,3 \ m^3)$ a $V_2 \ (0,8 \ m^3)$. Si la variable de integración fuese $V$, debería tomar, lógicamente, esos límites de integración. Pero fíjate que hay un cambio de variable: pasa de ser $V$, a $y$ (distancia vertical recorrida por el émbolo):

Como $V=Sy$, $dV=Sdy$.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Aunque mucho d lo que explique redunde en algunas cosas que te han explicado en este y otros problemas

veo que dice

Un gas se expande

Para que la presión y el volumen aumenten a la vez, aunque no esta escrito es necesario que le entregues energía al sistema, en forma de calor por ejemplo, luego el trabajo es lo que te queda luego que restes la variación de energía interna del sistema... de acuerdo a lo que formula el primer principio de la termodinámica.

Pareciera que el enunciado quisiera decir que dadas las condiciones iniciales, el sistema evolucionaría del estado inicial al final, sin que medie nada de por medio... esta mas que claro que solo sucede si se aporta calor al sistema.

a) desarrollar una expresión que relacione P y V

bueno precisamente la expresión

$p_{ext}=p_{atm}+\dfrac{mg}{S}+\dfrac{Ky}{S}$

no relaciona P con V

Pero si lo logras ,si reemplazas el desplazamiento del embolo y por lo que despejas de la relación $V=V_i+\Delta y S$

$y-y_i= \dfrac{V-V_i}{S}$

luego


$P=p_{atm}+\dfrac{mg}{S}+\dfrac{K(V-V_i)}{S^2}$

b) El trabajo desarrollado por el gas mediante integración

luego integrando la expresión


$W=\dst\int_{V_i}^{V_f}PdV=\dst\int_{y_i}^{y}\left(p_{atm}+\dfrac{mg}{S}+\dfrac{K(V-V_i)}{S^2}\right)dV$

que como bien vale el cambio de variable utilizando que la secciones constante

$W=\dst\int_{y_i}^{y_f}PdV=\dst\int_{y_i}^{y}\left(p_{atm}+\dfrac{mg}{S}+\dfrac{K(y-y_i)}{S}\right)Sdy$

llegando a como te proponen


$W=p_{atm}S(y-y_i)+mg(y-y_i)+\dfrac{K(y-y_i)^2}{2}$

solo cuando tomas que la tu referencia $y_i$ es nula entonces se convierte en

$W=p_{atm}Sy+mgy+\dfrac{Ky^2}{2}$

que podrías haberlo hallado sin integra pensando que

si el sistema se expande en contra de la presión atmosférica que es constante , esa parte del trabajo de expansión es $W_1=P_{atm}\Delta V=P_{atm}S\Delta y$

elevar el émbolo en contra de la gravedad requiere hacer un trabajo que considerando el peso constante es el peso por la variación de la cota de altura. $W_2=P\Delta h=mg\Delta y$

y a la vez hay que comprimir un resorte una longitud $\Delta y$ el trabajo para lograrlo es $W_3=\dfrac12 K\Delta^2y<br />$

luego el trabajo total es la suma de estos tres trabajos.... pero bueno te pidieron que integres... y llegas evidentemente al mismo resultado, por un método un poco formulísticamente más complejo pues aplicas lo que ya se sabe de dinámica Newtoniana

c) la masa del émbolo

la presión inicial del recinto es la presión atmosférica , más la presión que hace el peso del émbolo distribuida sobre toda su superficie


$P_{int}=P_{atm}+\dfrac{mg}{S}$

que despejando m te lleva a lo que ya han calculado.

d) el trabajo desarrollado en contra del peso del émbolo

del literal ''a al c'' ya los resolvi pero mi duda es el trabajo desarrollado en contra del peso del émbolo

pues claramente es lo que he calculado como $W_2$ es la parte del trabajo utilizado para elevar el émbolo entre la posición inicial y la final...

[oscarmuinhos]

El problema dice:

d) el trabajo desarrollado en contra del peso del émbolo

Puede ser que lo que se haya querido pedir en el enunciado de este literal d) sea lo que han calculado JCB y Richard....

Pero lo que literalmente dice es el trabajo desarrollado EN CONTRA DEL PESO DEL ÉMBOLO. No dice EN CONTRA DEL ÉMBOLO. Es decir que está excluyendo el trabajo que realiza el gas EN CONTRA de la presión atmosférica y EN CONTRA del resorte...

Por lo tanto, con este enunciado que explicita tan claramente trabajo en contra del peso del émbolo, lo que habría que hacer es calcular SOLAMENTE el trabajo que hace el gas EN CONTRA DEL PESO DEL ÉMBOLO....por lo tanto....

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Entiendo que esto es lo que pide, (aunque puede que quisiera pedir otra cosa??? O no???)

Saludos

[JCB]

Por lo tanto, con este enunciado que explicita tan claramente trabajo en contra del peso del émbolo, lo que habría que hacer es calcular SOLAMENTE el trabajo que hace el gas EN CONTRA DEL PESO DEL ÉMBOLO....por lo tanto....

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Entiendo que esto es lo que pide, (aunque puede que quisiera pedir otra cosa??? O no???)

Saludos

Hola a tod@s.

oscarmuinhos: no acabo de entender la expresión que utilizas para calcular el trabajo “en contra del peso del émbolo". Sin embargo, el valor numérico final que indicas, coincide con el valor del trabajo que yo propuse, $mgy=250,45\cdot9,8\cdot10,19 \ J=25.000 \ J$.

Saludos cordiales,
JCB.

[oscarmuinhos]

Hola a tod@s.

oscarmuinhos: no acabo de entender la expresión que utilizas para calcular el trabajo “en contra del peso del émbolo".

Hola JCB

Antes de nada, tu expresión es totalmente correcta. En cuanto a mi cálculo:

Integrando directamente la expresión del trabajo, teniendo en cuenta que la presión debida al peso del émbolo es constante:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

La varianción de volume la da el enunciado: de 0,3 m³ hasta 0,8 m³

Y la presión debida al peso del émbolo (que es, evidentemente, constante) la calculo a partir de los valores que dice el enunciado de la presión inicial:

"Un gas se expande en un dispositivo cilindro émbolo ( 250mm de diámetro) desde una presión inicial de 150 Kpa, la cual es debido a la masa del émbolo y la presión atmosférica (1 bar presión atm)"

Por lo que dice el enunciado: presión debida al peso del émbolo será igual a la presión total inicial (150 kPa) menos la presión atmosférica (1 bar =100 kPa): O sea

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Yo entiendo que esto es lo que literalmente se pide en el enunciado.

[JCB]

Vale. Ahora sí que lo entiendo oscarmuinhos.

Lo cierto es que me confundió la simbología: yo utilizo $p$, para presiones, y $P$, para pesos.

Gracias y saludos cordiales,
JCB.

[oscarmuinhos]

: yo utilizo $p$, para presiones, y $P$, para pesos.

JCB.

Yo utilizo P (mayúscula) para la presión...Pero puede que yo ayudara a esa confusión tuya empezando con una p minúscula y pasando en el mismo renglón a una P mayúscula.
Del recorta y pega resultan con frecuencia cosas así: empecé copiando tu ecuación para no tener que escribir tanto símbolo LATEX y mantuve tu minúscula para pasar (inapropiadamente) a una P mayúscula para simbolizar la misma magnitud. Disculpas JCB

Saludos