2o ciclo Función de partición clásica de un gas de moléculas diatómicas

[thekagas]

Buenas a todos.
Tengo varias dudas en la resolución de un problema de Física estadística que dice lo siguiente:

Considérese un gas ideal clásico de moléculas diatómicas, cada una de las cuales se describe mediante el siguiente Hamiltoniano:

$\displaystyle\,H=\frac{1}{2m}\left(\vec{{p}_{1 }}^{2 }+{\vec{{p}_{2}}}^{2 }\right)+\frac{K}{2}{\left\vert{}\vec{{r}_{1 }}-\vec{{r}_{2}} \right\vert{}}^{2 }$

donde $p=\left({p}_{x},{p}_{y},{p}_{z}\right)$ es el momento de cada átomo, $r=\left(x,y,z\right)$ su posición, y $K$ es una constante positiva. Si el gas se encuentra encerrado en un recinto de volumen V y en equilibrio termodinámico a una temperatura T, calcular la función de partición para un sistema de N partículas.

Bien, mi problema es que tengo 2 formas diferentes de acatar el problema y no se cual es la correcta y por qué.

FORMA 1

Construimos la función de partición de una partícula a partir del Hamiltoniano clásico directamente:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

La integral en los momentos se resuelve fácilmente, obteniendo $\displaystyle{\frac {{h}^{6}}{{\Lambda}^{6}}}$ con $\displaystyle\Lambda={\frac{h}{\sqrt{2\pi mkT}}}$ y para la integral en las posiciones hago un cambio de variable lineal a coordenadas relativas:

$\displaystyle\vec{{r}_{1 }}=\vec{R}+\frac{1}{2}\vec{r}$; $\displaystyle\vec{{r}_{2}}=\vec{R}-\frac{1}{2}\vec{r}$ donde $\vec{R}$ es el vector posición del centro de masas y $\vec{r}$ la distancia entre la partícula 1 y 2 de la molécula diatómica. Aquí surge mi primera duda, y es, ¿cuántos grados de libertad tengo que tener en cuenta a la hora de integrar? y es que a primera vista podría parecer que tenemos 6 grados de libertad (3 coordenadas para cada partícula), pero como el potencial es central el movimiento tendrá lugar en un plano, luego restaríamos un grado de libertad, teniendo 5 (3 coordenadas para el centro de masas, una coordenada radial y una coordenada angular). Entonces en la función de partición deberíamos incluir el factor $\displaystyle\frac{1}{{h}^{5}}$ o el factor $\displaystyle\frac{1}{{h}^{6}}$? En cualquier caso la función de partición no resulta adimensional, que es como debiera quedar.

En cuanto a los límites de integración, $\vec{R}$ recorre el volumen V, mientras $\vec{r}$, que lo expresamos en polares al depender únicamente de su módulo, puede tomar cualquier valor radial desde 0 a $\infty$. Al final se obtiene: $\displaystyle\,{Z}_{N=1}={\frac {V{h}^{3}}{{\Lambda}^{8}mK}}$ (dimensiones de momento) lo que nos daría una contribución al calor específico de $\displaystyle\,{c}_{v}=4KT$.

FORMA 2

Ahora lo que hacemos es transformar el Hamiltoniano desde el principio, descomponiéndolo en sus contribuciones traslacional, rotacional y vibracional tras realizar un cambio de variable a polares, derivar para hallar los momentos conjugados y demás. Se obtiene:

$\displaystyle\,H(\vec{R},r,\theta,\vec{P},p,L)=\frac{{\vec{P}}^{2}}{2M}+\frac{{p}^{2}}{2\mu}+\frac{{L}^{2}}{2I}+\frac{1}{2}K{r}^{2}$ donde $M$ es la masa total de la molécula, $\mu$ es la masa reducida e $I$ es el momento de inercia (¿lo consideramos aproximadamente constante?)

Una nueva duda aquí. Al realizar ahora la integral, ¿debemos incluir el factor $r$ como Jacobiano de la anterior transformación o no? bueno, supongamos que lo tenemos en cuenta, entonces la integral resultaría:

$\displaystyle {Z}_{1}=\frac{2\pi V}{{h}^{5}}\int_{\mathbb{R}}d\vec{P}\,{e}^{-\beta\frac{{\vec{P}}^{2}}{2M}}\,\int_{-\infty}^{\infty}dp\,{e}^{-\beta\frac{{p}^{2}}{2\mu}}\,\int_{-\infty}^{\infty}dL\,{e}^{-\beta\frac{{L}^{2}}{2I}}\,\int_{0}^{\infty}dr\,r{e}^{-\beta\frac{1}{2}K{r}^{2}}$ donde el factor $2\pi V$ viene de la integración angular y de la parte de $\vec{R}$.

El valor de esta no coincide con el calculado en la forma 1. ¿Qué es lo que pasa? Cómo puedo resolver este problema? por qué no me sale Z adimensional?
Me gustaría saber además si, a la hora de calcular la función de partición, hay que incluir el jacobiano en la integral, si esta no se resuelve en cartesianas.

Muchas gracias a tod@s por atender mis dudas