Entropía máxima en equilibrio térmico

[mariosesa]

Buenas,

Se nos ha planteado este problema en clase de física:

"Un trozo de metal caliente (masa m, calor específico a presión constante cp, temperatura Ti) se sumerge en un líquido más frío (m', cp', Ti') adiabática e isobáricamente. Demuéstrese que la condición de equilibrio, Tf=Tf', puede obtenerse haciendo máximo el cambio de entropía del universo con la condición de que el calor perdido por el metal sea igual al ganado por el líquido"

Llevamos un buen rato intentándolo, pero no conseguimos avanzar.

¿Alguna idea?

Gracias!

[arivasm]

Como la cantidad de calor transferida en cada substancia es $Q=c_p m (T_f-T_i)$, la variación de entropía vale $\dst\Delta S=\int_{T_i}^{T_f}\frac{\delta Q}{T}=\int_{T_i}^{T_f}c_p m \frac{\dd T}{T}=c_p m \ln\frac{T_f}{T_i}$. Sumando ambas entropías tienes la que corresponde al universo, que dependerá de ambas temperaturas finales, $\dst\Delta S_u=c_p m \ln\frac{T_f}{T_i}+c'_p m' \ln\frac{T'_f}{T'_i}$. Teniendo en cuenta, como dice el enunciado, que ambos calores son opuestos, puedes despejar una de ellas en función de la otra (dejo eso para ti) y de esa manera expresar la entropía del universo en función de una sola. Después solo quedará derivarla respecto de dicha temperatura y encontrar el máximo, para verificar que eso equivale a la igualdad de ambas temperaturas finales.

Por supuesto, una vía más cómoda es derivar respecto de una de las temperaturas finales: $\dst\frac{\partial\Delta S_u}{\partial T_f}=c_p m\frac{1}{T_f}+c'_pm'\frac{1}{T'_f}\frac{\partial T'_f}{\partial T_f}$, donde la última derivada la obtienes de la igualdad $c_p m (T_f-T_i)+c'_p m' (T'_f-T'_i)=0$