Divulgación Transferencia de energía térmica.

[Cefe]

Hola a todos. Soy muy ignorante en la materia y me preguntaba si podían ayudarme con un par de dudas que surgen de un informe que debo preparar. La cuestión es la siguiente: Debo calcular la presión final del Metano almacenado en un cilindro de acero de 9 mm de espesor, 1150 mm de largo y 340 mm de diámetro que es expuesto a fuego directo durante 10 o 15 minutos. Suponiendo que el combustible de la llama genera a los 5 minutos una temperatura de 1120ºC y que la temperatura inicial del Metano es de 35ºC : La duda surge de saber que porcentaje de esos 1120ºC pasan al interior del cilindro en 10 y en 15 minutos. Teniendo esa respuesta, y sabiendo que la presión inicial del Metano es de 180 bar, la ley de Gay-Lussac me diría la presión final aprox, ¿verdad? Pido disculpas si es equívoca la formulación de la pregunta, o incluso el lugar del foro donde publico esto, pero repito que en realidad no tengo conocimientos de física. Muchas gracias de antemano.

[The Higgs Particle]

Re: Transferencia de energía térmica.

Comentarios previos:

La duda surge de saber que porcentaje de esos 1120ºC pasan al interior del cilindro

Hasta donde yo sé, esta fase está mal expresada. El calor es un proceso en el que se transmite energía térmica (expresada en $J$), pero no temperatura ([Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] )


Sobre el ejercicio:

Si suponemos que estamos poniendo la base del recipiente sobre el fuego, me parece que la forma principal de transferencia de calor es la conducción térmica.

$P =\dst \frac{\dd Q}{\dd t} = \dst \lambda S \frac{\Delta T}{l}$

El valor tabulado de la conductividad térmica en el acero, $\lambda_{acero} = 47 \left( \dst \frac{W}{K \cdot m} \right)$; $S$ es la superficie de la base: $S = \pi r^2 = \pi \dst \left( \frac{d}{2} \right)^2$; $l$ es el espesor; $\Delta T$ es la diferencia de temperatura existente entre la llama y el interior del recipiente.

Así:

$E_{transferida} = Q = P(t) \cdot t$

Si me lo permites, para no escribir tanto, ahora voy a poner $E_{transferida} = Q$

A partir de aquí, lo que se me ocurre es aplicar el I Principio de la Termodinámica: $\Delta U = Q - W$

Como $V = cte. \to \dd V= 0 \to W = 0 \to \Delta U = Q$

Suponiendo que el Helio es un gas ideal (monoatómico), tenemos que $\Delta U =Q_v = \dst \frac{3}{2}nR \Delta T$
Así:

$T_f = \dst \frac{2 Q}{ 3nR} + T_0$

donde $T_f$ es la temperatura final del gas, $n$ es el número de moles contenidos en el recipiente, $R = 8.31 \left(\frac{J}{K \cdot mol } \right)$ es la constante de los gases ideales y $T_0$ es la temperatura inicial.

¿Cómo hallamos $n$? Con las condiciones iniciales y la ecuación de los gases ideales:

$PV = NK_B T = nRT$

De esta forma:

$\dst n = \frac{P_0 V}{RT_0}$

Y $V$, suponiendo que el recipiente es cilíndrico, lo conseguimos con $V = S \cdot h$, donde $S$ es la superficie de la base, previamente calculada, y $h$ es la altura del recipiente:

$\dst n = \frac{P_0 Sh}{RT_0}$

Entonces:

$T_f = \dst \frac{2 Q R T_0}{ 3P_0 Sh R} + T_0 = \dst \frac{2 Q T_0}{ 3P_0 Sh} + T_0$

Pudiendo entonces concluir:

$\boxed{T_f = T_0 \times \left( \frac{2Q}{3P_0 Sh} + 1 \right)}$

NOTA: Las unidades deben estar en el Sistema internacional: $P (Pa); V(m^3); S (m^2); T(K); E(J); t (s)$, etc.

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Acabo de darme cuenta de que hablas de $CH_4$ y no de helio, por lo que no es un gas monoatómico, sino poliatómico.
El planteamiento es el mismo, pero la expersión de la energía interna, $\Delta U$, varía ligeramente.

$\dst C_V = \frac{\dd Q_v}{\dd T} \to Q_V = C_V \Delta T = (c_V n) \Delta T = ((aR)n) \Delta T$

Es decir, en un gas ideal, el calor específico molar es proporcional a la constante de los gases ideales: $c_v \propto R$
Buscando en Internet, puede verse que para el metano, $a=3.297 \to c_v = 27.4 \dst \left( \frac{J}{K \cdot mol} \right)$

Siendo así, llegamos a:

$\boxed{T_f = \dst T_0 \times \left( \frac{\lambda S \Delta T t}{ a P_0 V l} + 1 \right)}$