Cadena de polímeros con masa al final

[Visitante]

Buenas tardes,

Estaba revisando un ejemplo que el profesor hizo en clase. Plantea una cadena formada por argollitas que al final de ellas se cuelga una masa m y la orientación de la cadena es vertical, en un principio las argollitas tienen dos orientaciones posibles que son, contribuyendo con una longitud "a" a la cadena o con una longitud "-a" a esta, y la diferencia de energía entre cada una de ellas es la energía necesaria para subir la masa 2*a. Finalmente suponemos que el sistema está a una temperatura T fija y que el número de argollitas (N) es muy grande y que además no interactuan entre ellas, aparte, también consideramos que no tienen masa. Se podría modelar como una cadena de polímeros

El profesor procede a calcular a partir de la distribución de Boltzmann las probabilidades de que cada argollita esté en una orientación ($p_a=e^{-mga}/2cosh(mga/kT)$ y $p_{-a}=e^{mga}/2cosh(mga/kT)$) y con la expresión generalizada para la entropía, la entropía de la cadena:

$S_N=N\cdot S_1=-k\cdot(p_a\cdot log(p_a)+p_{-a}\cdot log(p_{-1}))=<br /> S=N\cdot k\cdot ln(2\cdot cosh(m\cdot g\cdot a /k \cdot T))-N\cdot\frac{m\cdot g\cdot a}{T}\cdot tanh(m\cdot g\cdot a/k\cdot T)$

Y la energía promedio del sistema, que por ser N grande, podemos aproximarla a la energía del sistema (esta misma aproximación también la ha usado para la entropía):

$E_N=-m\cdot g \cdot N\cdot a \cdot tanh(mga/kT)=m\cdot g\cdot L$

Donde la igualdad con la longitud se ha obtenido de calcular la longitud de la cadena: $<br /> L=N/2cosh(mga/kT)\cdot (a\cdot p_{a}-a\cdot p_{-a})=-N \cdot a \cdot tanh(m\cdot g\cdot a/k\cdot T)$ (comportamiento propio de un material tipo caucho)

El problema me surge cuando quiero comprobar si se cumple la primera ecuación de la termodinámica para este problema, porque si $E_N$ podemos considerarla como la energía interna del sistema, la primera ecuación de la termodinámica nos diría que:

$dU=TdS+\Gamma dL$

Pero sin embargo obtengo que $dU=\frac{dU}{dL}dL=m\cdot g dL$ y $TdS=T\frac{dS}{dL}dL=m\cdot g dL$ donde al resultado de $TdS$ he llegado derivando la expresión de la entropía en mathematica.

El asunto es que esto nos deja con $0=\Gamma dL$ implicando que la tensión sería nula, algo a lo que no le encuentro mucho sentido. La única opción que se me ocurre es que la energía calculada no sea la interna del sistema y que en todos estos procesos haya que considerar U constante.
También me he dado cuenta que si trabajamos a temperaturas altas y antes de derivar aproximamos la entropía a $N\cdot k\cdot ln(2)-N\cdot\frac{m\cdot g\cdot a}{T}\cdot m\cdot g\cdot a/k\cdot T$ al derivar respecto de L (haciendo la misma aproximación para tanh en L) obtendríamos $TdS=2\cdot m\cdot g dL$ y nos daría una tensión de $\Gamma=-mg$ que ya tiene sentido pero no se hasta que punto procede hacer dicho límite antes de derivar.

No entiendo donde me he confundido en mi desarrollo en el cálculo de la tensión o si alguno de mis razonamientos posteriores es correcto. Cualquier comentario y opinión es bienvenida.

Muchas gracias de antemano.

[Richard R Richard]

Puedes subir un pequeño esquema de la disposición de las argollas?

[Visitante]

Son básicamente las argollas unidas unas a otras (en un principio carecerían de masa) y la probabilidad de orientarse es una distribución de Boltzmann asociada a la energía potencial del sistema en cada una de las configuraciones. En un principio la longitud podría ir desde -N*a, todas orientadas hacia abajo hasta N*a todas orientadas hacia arriba. He estado pensando y he llegado a la conclusión de que se podría razonar por argumentos mecánicos que la tensión aplicada en la cadena es la masa multiplicado por la aceleración de la gravedad independientemente de la configuración.

Muchas gracias y un saludo.

[Richard R Richard]

Creo que arribas mal a la conclusión de que la tensión es nula, lo que es nulo es el trabajo de la fuerza tensión, cuando cada argolla no varia su longitud , tienes solo una forma de que la argolla reacciones a la fuerza tensión y es orientándose en la vertical, y una vez así el trabajo que realiza es nulo.
Espero haber interpretado bien tu duda.

[Visitante]

Entiendo, entonces la tensión a la que estaría sometida la cadena en los estados de equilibrio sería igual a la masa por la fuerza de la gravedad, si mal no estoy entendiendo.

[Richard R Richard]

La tensión que esta sometido cada eslabón depende de lo que debajo tiene debajo y apropió peso,

En la enésima argolla, la tensión que la sostiene es igual a la que transmite hacia abajo (n-1 argollas y la masa) mas la colaboración de la masa de la argolla por la aceleración de la gravedad es decir su peso.

[Visitante]

Comprendo, sin embargo, en el problema se utiliza la simplificación de que las argollas no tienen masa, de esta forma no se si se podría tratar a los eslabones como "idénticos" en la cadena y generalizar la tensión sobre la cadena como la masa por la aceleración de la gravedad sin preocuparse de cada argolla individualmente.

[Richard R Richard]

En ese caso es correcto.
Edito cada argolla desde su posición inicial desordenada, para ordenarse consume energía potencial, pero a masa nula esto se desprecia.
La masa grande al llegar abajo adquirió energía cinética a partir del potencial gravitatorio, debe suceder luego que para detenerse en la posición inferior algo o alguien le extrajo la energía cinética. pero entiendo que eso no lo pregunta el problema.

[Visitante]

Ahora ya está todo comprendido. Muchísimas gracias por toda la ayuda y las explicaciones Richard.