Ejercicio de coeficientes termoelásticos

[cogujada]

Hola buenas, tengo una duda sobre un ejercicio que dice así:

Un determinado gas tiene un coeficiente de compresibilidad isoterma que sigue la expresión k_T = 1/(P+aP²) , donde a es una constante, y un coeficiente de dilatación cúbica α = 1/T
Indique las dimensiones de la constante a, encuentre el valor del coeficiente de compresibilidad isocora y deduzca la ecuación de estado del gas.

Bien, pues las dos primeras partes creo que las he hecho bien (si le echáis un ojo y me decís me haríais un favorazo):
Las dimensiones de la constante a son:
[a] = 1/P

En cuanto a la segunda parte, el coeficiente de compresibilidad isocora (β) se relaciona con los otros coeficientes de la siguiente manera:
-k_T = -α/(β·P)

Haciendo una serie de cálculos, llego a la siguiente conclusión:
β = 1/(a·P³ + T·P²)

No sé si estos dos apartados están bien, yo creo (desde la humildad) que sí, aunque si los podéis echar un ojo sería maravilloso.
El problema lo tengo con el último apartado.
¿Cómo deduzco la ecuación de estado del gas?
O sea,¿tengo que utilizar la EOS de Van der Waals, de los Gases ideales, de Redlich-Kwong...? Estoy un poco perdido en este apartado.


Como siempre, muchas gracias por vuestro tiempo,
un saludo!

[JCB]

Hola a tod@s.

El coeficiente de dilatación isobaro es $\alpha=\dfrac{1}{V}\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_P=\dfrac{1}{T}$.

El coeficiente de compresibilidad isotermo es $k_T=-\dfrac{1}{V}\left(\dfrac{\partial V}{\partial P}\right)_T=\dfrac{1}{P+aP^2}$.

Substituyendo en la expresión general $dV=\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_PdT+\left(\dfrac{\partial V}{\partial P}\right)_TdP$,

$\dfrac{dV}{V}=\dfrac{dT}{T}-\dfrac{dP}{P+aP^2}$. Integrando llego a

$\ln V=\ln T+\ln\left(\dfrac{1}{P}+a\right)+C_1$,

$\ln V=\ln {T}\left(\dfrac{1}{P}+a\right)+C_1$,

$V=C_2T\left(\dfrac{1}{P}+a\right)$.

Si alguien detecta errores, espero que me corrija.

Saludos cordiales,
JCB.