Secundaria Experimento de Joule: variación de temperatura en una cascada

[Marcos Castillo]

Hola. Creo que sé qué fórmula aplicar, pero de nuevo creo que faltan datos. El enunciado dice así:
"A mediados del S XIX James Joule realizó multitud de experimentos sobre la transformación del calor. En uno de ellos, llevado a cabo durante su luna de miel, midió la variación de temperatura del agua al caer en una cascada. Si la cascada medía $100\;m$, ¿ qué variación de temperatura debió observar Joule?
a) Un aumento en torno a $0,2º\;C$
b) Una disminución en torno a $1º\;C$
c) Un aumento en torno a $1º\;C$
d) Una disminución en torno a $0,5º\;C$".

Bueno, la fómula, ¿puede ser $Mgh=mc(T-T_0)$?. $c=4,18\;kJ/kg\cdot{K}$
Las preguntas son:
- ¿Faltan las masas?; ¿qué diferencia hay entre $M$ y $m$?; ¿se pueden cancelar?;
- ¿$T_0$ no es un valor totalmente aleatorio?
Ahora estoy pensando que ésta no es la fórmula.
Un saludo

[Alriga]

Diría que falta el dato de la velocidad "$v$" a la que llegan al pie de la cascada las gotas de agua. Si nos diesen esa velocidad, podríamos plantear para una cantidad de agua "m" arbitraria:

$mgh-\dfrac 1 2 m v^2=m c \Delta T$

Con ello:

$\Delta T=\dfrac{2 g h-v^2}{2 c}$

El máximo incremento de temperatura se daría cuando $v\rightarrow 0$

$\Delta T \leq \dfrac{ 9.81 \cdot 100}{4180}=0.23ºC$

Por lo tanto la única respuesta que podría llegar a ser correcta es la "a" ya que no hay suficiente energía disponible para calentar tanto como 1ºC (elimina "c"), y el agua al caer se calienta por rozamiento con el aire, no se enfría (elimina "b" y "d")

Saludos.

[Eludio]

Si hacemos el cálculo de $\frac{\Delta T}{m}$ tu fórmula (con las masas M=m y $\Delta T = (T-T_0))$ nos queda:

$gh=c\Delta T$. Ten en cuenta que nos piden la variación de temperatura $T-T_0$ o sea $\Delta T$

NOTA: respecto a la velocidad (si optas por hacerlo por energía cinética), se puede calcular pues tenemos la altura de la cascada.
NOTA 2: Ojo con las unidades de la constante c que has puesto (kiloJoules)... tenlo en cuenta al hacer los cálculos.

[Alriga]

NOTA: respecto a la velocidad (si optas por hacerlo por energía cinética), se puede calcular pues tenemos la altura de la cascada.

Observa que si calculas la velocidad suponiendo que toda la energía potencial se ha convertido en cinética

$mgh = \dfrac 1 2 mv^2 \rightarrow v=\sqrt{2 g h}$

O por cinemática del m.r.u.a.

$h=\dfrac 1 2 g t^2 \quad y \quad v=g t \rightarrow v=\sqrt{2 g h}$

Entonces no habría disipación de energía por rozamiento durante la caída y el incremento de temperatura del agua sería nulo.

Saludos.

[Eludio]

Observa que si calculas la velocidad suponiendo que toda la energía potencial se ha convertido en cinética

$mgh = \dfrac 1 2 mv^2 \rightarrow v=\sqrt{2 g h}$

O por cinemática del m.r.u.a.

$h=\dfrac 1 2 g t^2 \quad y \quad v=g t \rightarrow v=\sqrt{2 g h}$

Entonces no habría disipación de energía por rozamiento durante la caída y el incremento de temperatura del agua sería nulo.

Saludos.

No me has entendido. Me refiero a a que el problema es: toda la energía (potencial o cinética) se convierte en calor una vez el agua está en el estanque (velocidad final cero). Es equivalente, la energía es la misma (la que tiene el agua arriba del todo o la que tiene el agua justo antes de llegar al estanque). En este caso, es más sencillo utilizar la potencial (menos cálculos).

[Marcos Castillo]

He conseguido en la biblioteca el Volumen 1C (Termodinámica) de "Física para la ciencia y la tecnología", 6ª edición, Tipler|Mosca. Y éste es el texto que he encontrado en la página 599:
"Ejemplo 18.5
Calentar el agua dejándola caer
(a) En las cataratas del Niágara, el agua cae 50 m. Si la disminución de la energía potencial gravitatoria del agua es igual al aumento de su energía interna, calcular el aumento de la temperatura del agua. (b) En las cataratas de Yosemite, el agua cae 740 m. Si la disminución de la energía potencial gravitatoria del agua es igual al aumento de su energía interna, calcular el aumento de la temperatura del agua. (Estos aumentos de temperatura no son de fácil observación, porque cuando el agua cae su temperatura se ve afectada por diversos efectos. Por ejemplo, se enfría por evaporación y se calienta cuando el aire realiza trabajo sobre ella por interacción viscosa.)
PLANTEAMIENTO La energía cinética del agua justo antes de que choque contra el suelo es igual a su energía potencial original $mgh$. Durante el choque, esta energía se convierte en energía interna, la cual origina a su vez una elevación de temperatura dada por $mc\Delta{T}$
SOLUCIÓN
(a) 1. Igualar la disminución de energía potencial y el aumento de energía interna: $mgh=mc\Delta{T}$
2. Despejar la variación de temperatura: $\Delta{T}=\dfrac{gh}{c}=\dfrac{(9,81\;N/kg)(50\;m)}{4,184\;kJ/kg\cdot{K}}=0,117\;K=0,12\;K$
(b) Repetir el cálculo con $h=740\;m$: $\Delta{T}=\dfrac{gh}{c}=\dfrac{(9,81\;N/kg)(740\;m)}{4,184\;kJ/kg\cdot{K}}=1,74\;K=1,7\;K$
COMPROBACIÓN Las cataratas de Yosemite son 14,8 veces más altas que las del Niágara, de modo que la variación de energía potencial del Yosemite es 14,8 veces mayor que la del Niágara. Multiplicando $0,117\;K$ por 14,8 se obtiene $1,73\;K$, que es un valor muy próximo al resultado dado en (b).
OBSERVACIÓN Estos cálculos ponen de manifiesto una de las dificultades que presenta el experimento de Joule, que no es otra que la gran cantidad de energía mecánica que se ha de disipar para producir una variación apreciable de la temperatura del agua."
Publico esta cita porque...No sé, con la esperanza de aportar algo, tal vez a alguien de mi nivel que encuentre el hilo. No entendía por qué la constante $c$ se anotaba en kilos.
Un saludo cordial. ¡Todo entendido!

[JCB]

... / ... COMPROBACIÓN Las cataratas de Yosemite son 14,8 veces más altas que las del Niágara, de modo que la variación de energía potencial del Yosemite es 14,8 veces mayor que la del Niágara. Multiplicando $0,117\;K$ por 14,8 se obtiene $1,73\;K$, que es un valor muy próximo al resultado dado en (b).
... / ...

Hola a tod@s. No entiendo esta "COMPROBACIÓN". $0,117\ K$, ¿ es un dato experimental ?.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Yo nunca he visto un experimento, ni creo que lo habrá en que lanzar una bola de cobre unos metros hacia arriba, haga cambiar su temperatura, ya que al tener un calor especifico mucho menor que el del agua su temperatura debería variar en mucha mayor cuantía que la misma masa de agua.

En realidad, lo que se convierte en calor, es el cambio de la energía cinetica en el impacto del agua al tocar la laguna inferior , y no el salto de potencial gravitatorio.

• El agua al caer esta sometida a evaporación lo cual con un perdida de masa superior al 0.2 % el agua llegaría mas fría a la laguna inferior, que cuando partió, por la absorción del calor de evaporación en la superficie de las gotas.
• por otro lado , hay convección con el aire atmosférico, por lo tanto sino hay equilibrio de temperatura con el aire, hay variación de temperatura del agua, cuanto? depende ....
• Luego esta el rozamiento con el aire, que si bien la fricción aumenta la temperatura, también disminuye la velocidad a la que llega el agua a la laguna inferior, nunca superando la velocidad terminal.
• Hasta del viento, puede ayudar o disminuir el efecto.

Así que lo único que incrementa la temperatura del agua es el repentino cambio de velocidad de llegada entre el descenso hasta la casi nula velocidad de salida en comparativa y como dije, la velocidad de llegada depende de muchos factores, pero claro el enunciado del problema propone hacer caso omiso, dejando al potencial gravitatorio como fuente de energía, cuando es una muy cuestionable simplificación.

[Marcos Castillo]

Tienes razón. Para que fuera una comprobación, debería tratarse de un dato empírico... Es una comprobación... No, es... Primero afirma matemáticamente algo, y la "comprobación" está fundamentada en la propia afirmación: camina en círculos.
¡Puff! Gracias por advertir.
Un saludo cordial

[Marcos Castillo]

RRR, tienes razón, la premisa $mgh=\dfrac{1}{2}mv^2_f$ es mucho más reduccionista de lo que exige el sentido común. De nuevo faltan datos: temperatura inicial del caudal de agua, velocidad inicial... Es un ejercicio puramente especulativo desde un punto de vista físico.
Un saludo cordial

[JCB]

Hola a tod@s.

Si se considera que la velocidad del flujo de agua en el punto más alto de la cascada es $v_0$, la velocidad en el punto más bajo es

$v_f=\sqrt{v_0^2+2gh}$.

La energía mecánica antes del choque es la cinética, $E_c=\dfrac{1}{2}mv_f^2=\dfrac{1}{2}m(v_0^2+2gh)$.

Cuando se produce el choque, toda esta energía cinética, se convierte en energía interna:

$\dfrac{1}{2}m(v_0^2+2gh)=mc\Delta T$,

$\Delta T=\dfrac{v_0^2+2gh}{2c}$.

El aumento de temperatura no depende del caudal, sino de la velocidad del flujo de agua (y de la altura de la cascada, evidentemente).

Saludos cordiales,
JCB.