Otras carreras Potenciales, coeficientes materiales y relaciones de Maxwell

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Hola, he intentado hacer un ejercicio del libro de introducción a la termodinámica de H. Callen que dice así:
Demuestrese que si $\alpha=1/T$ (siendo $\alpha$ el coeficiente de expansión térmica), el calor específico a presión constante $c_p$ es independiente de la presión, es decir:
$(\frac{\partial c_p}{\partial p})_T=0$

yo lo he intentado mediante la expresión:

$c_p=C_v+\frac{T(\alpha)^2 V}{K_T}$

y operando y sustituyendo los coeficientes materiales por sus expresiones mediante derivadas:

$K_T=-\frac{1}{V} (\frac{\partial V}{\partial p})_T$

$C_v=T(\frac{\partial S}{\partial T})_V$

llego a la expresión:

$C_p=T(\frac{\partial S}{\partial T})_V-\frac{V^2}{T}(\frac{\partial p}{\partial V})_T$

No sé si con esta expresión llega o si alguien puede darme alguna pista, o si por el contrario el camino elegido ha sido erróneo.

Gracias de antemano