Otras carreras Variación de entropía

[danielandresbru]

Hola quisiera saber como plantear este problema.
Tengo un sistema como el adjuntado en la imagen formado por dos cajas de igual masa y calor específico, en el que la temperatura de la 2da caja es mayor que el de la 1ra el entorno en el que estan está a una temperatura intermedia entre las dos temperaturas; y en el cual el calor que absorbe la 1ra caja de la 2da sera 1/4 del calor que desprenda 2da caja, el resto de este calor se desprenderá al entorno. Con estos datos calcular la entropia una vez que se haya equilibrado la temperatura.

Muchas gracias de antemano

[Richard R Richard]

Re: Variación de entropía

Como te dicen que el calor que absorve la primera caja es la cuarta parte de lo que libera la segunda , el medio no le aportara energía a la primera caja por lo que la cantidad de calor necesaria para que la primeraa caja halle equilibrio termico es

Edito: por aclaraciones posteriores esta solución no tiene sentido

$mC_e\Delta T_1=mC_e( T-T_1)=Q_{2\to1}$

y es igual al calor que la segunda le de a la primera masa

Por lo que el calor que libera la masa 2 es

$mC_e\Delta T_2=mC_e( T_2-T)=4 Q_{2\to1}$

y el calor que ambas masas le envían en conjunto al entorno es


$Q_{s\to u}=4 Q_{2\to1}- Q_{2\to1}=3 Q_{2\to1}$

por lo que la variación de entropía del universo será

$\Delta S_u=\dfrac{Q_{s\to u}}{T}=\dfrac{3 Q_{2\to1}}{T}$

[danielandresbru]

Re: Variación de entropía

Muchas gracias Richard, pero en realidad quise decir que la primera caja tambien absorbe calor del entorno sólo que de el calor que absorbe de la 2da caja es una cuarta oarte de la que esta emite

[Richard R Richard]

Re: Variación de entropía

Bueno entonces , analicemos el balance de energía de la parte que inicialmente esta a temperatura t1

$$Q_{u\to 1}+Q_{2\to 1}=mC_e(T-t_1)$$

La otra masa quedara entonces

$$Q_{2\to u}+Q_{2\to 1}=mC_e(t_2-T)$$

Luego sabiendo que del calor total que cede 2 la cuarta parte es lo que recibe 1

$$\dfrac{mC_e(t_2-T)}{4}=Q_{2\to 1}$$

reemplazo 3 en 1 y en 2 y tenemos

$$Q_{u\to 1}=mC_e(T-t_1)-\dfrac{mC_e(t_2-T)}{4}$$

$$Q_{2\to u}=mC_e(t_2-T)-\dfrac{mC_e(t_2-T)}{4}=\dfrac{3}{4}mC_e(t_2-T)$$

- - - Actualizado - - -

de la expresión 3 se deduce que por cada grado que varie $t_2$ , $t_1$ variara 1/4 $\dd t_1=\frac{\dd t_2}{4}$
y que para que esa relación no se altere siempre $(t_2-T)=4(T-t_1)$

$t_1=T-\dfrac{(t_2-T)}{4}$

Ese balance energético corresponde al instante inicial del proceso , pues cuando haya transferencia de calor, las temperaturas de los dos cuerpos variaran continuamente , la entropía es la relación dentro el calor entregado y la temperatura de la fuente , por lo que

$\dst\Delta S=\int_{T_2}^T\dfrac{Q_{2\to m}}{t}\dd t-\int_{T_1}^T\dfrac{Q_{u\to 1}}{t}\dd t$$=\dst\int_{T_2}^T\dfrac{\frac{3}{4}mC_e(t_2-T)}{t_2}\dd t_2-\int_{T_2}^T\dfrac{mC_e\frac{1}{4}(t_2-T)-\frac{1}{4}mC_e(t_2-T)}{T-\dfrac{(t_2-T)}{4}}\dd t_2$$=\dst\int_{T_2}^T\dfrac{\frac{3}{4}mC_e(t_2-T)}{t_2}\dd t_2$


La verdad que el resultado me convence mas que lo expresado anteriormente pero no totalmente, aunque no hallo error ni falta de lógica, veo que lo único que altera la entropía es el exceso de calor de t_2 ya que la cuarta parte se la cede a la masa 1 y esta se comporta como parte del entorno.

[Breogan]

Re: Variación de entropía

Hola:

Poco me acuerdo del tema, así que toma todo lo que diga con pinzas.

Tengo un sistema como el adjuntado en la imagen formado por dos cajas de igual masa y calor específico, en el que la temperatura de la 2da caja es mayor que el de la 1ra el entorno en el que estan está a una temperatura intermedia entre las dos temperaturas; y en el cual el calor que absorbe la 1ra caja de la 2da sera 1/4 del calor que desprenda 2da caja, el resto de este calor se desprenderá al entorno. Con estos datos calcular la entropia una vez que se haya equilibrado la temperatura.

Primero se define los nombres del universo, medio y de nuestro sistema como U, M y S respectivamente, resultando que:

$\dst M \subset U \quad y \quad S \subset U \quad| \quad M \cap S = \emptyset \quad y \quad U = M \cup S$

y la variación de entropia del universo sera:

$\dst \Delta S_U = \Delta S_M + \Delta S_S$

en nuestro caso nuestro sistema serán las dos cajas y el medio todo lo exterior a estas, con temperaturas $T_M \ y \ T_S$.

La variación de entropia del medio es la integral de la cantidad de calor que recibe (entrega) del (al) sistema sobre la temperatura de el mismo.

$\dst \Delta S_M = \int \ \frac {\delta Q_M}{T_M}$

Como la temperatura del medio es constante se puede sacar fuera de la integral, por lo que queda:

$\dst \Delta S_M = \frac { Q_M}{T_M}$

Nuestro sistema S esta compuesto por dos cajas, que llamaremos 1 y 2, con $\dst T_{2i} > T_M > T_{1i}$:

$\dst \Delta S_S = \int \frac {\delta q_S}{T_S}$

Pero como es un sistema compuesto lo podemos escribir:

$\dst \Delta S_S = \Delta S_1 + \Delta S_2$

$\dst \Delta S_S = \int \ \frac {\delta Q_1}{T_1} + \int \ \frac {\delta Q_2}{T_2}$

Por otra parte por calorimetria sabemos que:

$\dst \delta Q_1 = Ce_1 \ m_1 \ dT_1 \quad y \quad \delta Q_2 = Ce_2 \ m_2 \ dT_2$

entonces queda:

$\dst \Delta S_S = Ce_1 \ m_1 \ \int_{T_{1i}}^{T_{1f}} \ \frac {dT_1}{T_1} + Ce_2 \ m_2 \ \int_{T_{2i}}^{T_{2f}} \ \frac {dT_2}{T_2}$

Por el enunciado $\dst \quad Ce_1 = Ce_2 = Ce\quad ; \quad m_1 = m_2 = m$ quedando:

$\dst \Delta S_S = Ce \ m \left[ \ ln \left( \frac {T_{1f}}{T_{1i}} \right) + ln \left( \frac {T_{2f}}{T_{2i}} \right) \right]$

$\dst \Delta S_S = Ce \ m \ ln \left( \frac {T_{1f} \ T_{2f}}{T_{1i} \ T_{2i}} \right)$

$\dst T_{1f} = T_{2f}=T_f \quad \Rightarrow \quad \Delta S_S = Ce \ m \ ln \left( \frac {T_f^2}{T_{1i} \ T_{2i}} \right)$

Ahora queda aplicar que:

$\dst Q_1 = - \ \frac 1 4 \ Q_2$

y

$\dst Q_1 = Ce_1 \ m_1 \ \left(T_{f} - T_{1i} \right) \quad y \quad Q_2 = Ce_1 \ m_1 \ \left(T_{f} - T_{2i} \right)$

$\dst T_{f} - T_{1i}=\ - \ \frac 1 4 \ (T_{f} - T_{2i})$

De acá en mas, si no estoy equivocado, ya podes seguir solo.

s.e.u.o.

Suerte