Problema Termodinamica

[Visitante]

Buen dia, estaba intentando resolver este problema, dice lo siguiente:

Transferencia de Calor :

Un contenedor cilíndrico, fabricado de un material aislante al calor, y de volumen total V = 44,8 litros está dividido en dos compartimentos (A y B de la figura) por una pared también perfectamente aislante al calor. Cada compartimento tiene un mol de Helio en estado gaseoso. Inicialmente, los dos compartimentos tienen el mismo volumen V0(dividen a la mitad el contenedor cilíndrico) y están a la misma temperatura T0 = 0ºC. Con una resistencia eléctrica colocada en el compartimento A circula una corriente que genera calor lentamente por efecto Joule y cambia el estado termodinámico del sistema, es decir, el gas en los diferentes compartimientos cambia su presión, volumen y temperatura. En particular, se encuentra que después de un tiempo t el gas en el compartimiento B ha alcanzado una temperatura de T2= 136,5 ◦C.

a) Determine la presión y el volumen final del compartimento B (p2, V2)

b) Determine la presión, volumen y temperatura finales del compartimento A (p1, V1, T1)

c) Determine el cambio de energía interna en ambos compartimentos.

d) Considerando que la resistencia del compartimento A tiene el valor R = 242 Ω y que está conectada a una fuente de voltaje de 220 V, determine el tiempo t que le toma a la resistencia generar el calor necesario para realizar el proceso descripto. ¿Existe trabajo WA y WB entre los compartimientos,durante el proceso? Si existe ¿qué relación hay entre dichos trabajos?

Para resolver el problema considere la siguiente información: γ = cp/cv, donde cv y cp son la capacidad calorífica molar a volumen constante y presión constante respectivamente. Para el Helio en estado gaseoso: cv = 3/2 R y cp = 5/2 R. La constante universal de los gases ideales es: R = 8.31 J/mol K.

Pude hacer el a, b, use la ecuacion de los gases ideales, en el apartado C) y D) no pude avanzar mucho. Trate de usar la primera ley de la termodinamica, pero no se como aplicarla en este caso. Muchas gracias por toda la ayuda, son geniales, saludos!

[Richard R Richard]

Hola ICO, veamos si me acuerdo algo de esto

primero unos tips

dependiendo de las unidades aveces en mejor escoger otro valor de la constante universal de los gases en otro sistema de unidades como ser $R=0.082[litros \cdot atmoferas)/(Kelvin mol]=0.082lAtm/molK$

puedes conocer la presión inicial en los recipientes usando la ecuación de los gases ,
sabemos que el volumen inicial de cada recipiente es la mitad del volumen total es decir 22.4l


$p_i=\dfrac{nRT}{V}=\dfrac{1mol\cdot0.082latm/molK\cdot273.15K}{22.4l}<br />$
$p_i=1atm$

como te dicen que las paredes son aislantes el calor del recipiente B no se pierde, por lo que el proceso al que se lo esta sometiendo se denomina adiabatico
puedes leer algo de esto en mi Blog

Proceso Isentrópico o isoentrópico y proceso adiabático


El helio es un gas monoatómico por lo tanto $\gamma=\dfrac{Cp}{Cv}=1.66$ corregido, WOW inexplicable....

verás que en equilibrio la relación entre el volumen inicial y el finar respeto de las temperaturas es

Puedes cambiar subíndices don $A=1$ y $B=2$

$\dfrac{T_B}{T_A} = \left ( \dfrac{V_A}{V_B} \right )^{\left (\gamma - 1 \right )}$

y la relación entre las presiones y temperaturas

$P_B V_B ^ \gamma = P_A V_A ^ \gamma = Cte$

con este par de ecuaciones puedes despejar $P_B \ ,y\, V_B<br />$

luego debes observar que el volumen exterior no a cambiado es decir permanece en $V_t=2V_i=44.8l$

por lo tanto si ahora B tiene un volumen de $V_B$ el volumen e $V_A$ es la diferencia entre el total y $V_B$

$V_A=44.8l-V_B<br />$
pero a la vez si la pared no se mueve , porque hay equilibrio de fuerzas, y al ser el área de la pared la misma en ambos lados la presión de PB debe ser igual a la Presión de A

$P_B=P_A$

Para hallar la temperatura del recipiente A

usas la ecuacion de los gases

$T_A=\dfrac{P_AV_A}{nR}$ con lo que terminas el punto b


mas abajo en el blog veas que el trabajo que recibe el recipiente B es

$W_B=\dfrac{nR\Delta T_B}{1-\gamma}$

la variación de energía interna de ese recipiente es igual al trabajo por el primer principio de la termodinámica ya que el calor transmitido es nulo.


pero el trabajo que recibe B es el que produce A $W_A=-W_B$ pero como es un trabajo realizado en la ecuación del primer principio su valor es de signo contrario

así el calor que ha recibido A es

$Q=\Delta U-W_A$

reemplazando

en definitiva $Q=\Delta U+W_B$


donde los saltos de temperatura de cada recipiente se calculan $\Delta T =T_{final}-T_{inicial}$

$Q=nR\Delta T_A+\dfrac{nR\Delta T_B}{1-\gamma}<br />$

el calor Q es una cantidad de energía , si lo divides por la potencia (energía sobre tiempo) que entrega la resistencia te dará el tiempo de calentamiento

$P_{ot}=\dfrac{voltaje^2}{resistencia}=\dfrac{220^2}{242}<br />$


entonces

$t=\dfrac{Q}{P_{ot}}$

espero no haber sido muy confuso, cualquier duda repregunta.

por cierto en el apartado de termodinámica que aquí tienes una lista de los otros procesos termodinámicos, posibles , desarrollados con el mismo detalle.

[JCB]

Hola a tod@s.

Si sobre los apartados a) y b) no has tenido mayor dificultad, entonces no voy a hacer hincapié en ellos. Lo único que comentaré es que Richard se debe haber confundido al escribir que el Helio es diatómico. Precisamente por ser un gas monoatómico, $\gamma=\dfrac{5}{3}$.

c) Como la energía interna de un gas ideal solo depende de su temperatura, $\Delta U_A=nC_V\Delta T_A=1\dfrac{3}{2}(212,55-273)\ J=-753,96\ J$.

$\Delta U_B=nC_V\Delta T_B=1\dfrac{3}{2}(409,5-273)\ J=1.702,39\ J$.

d) En preparación.

Saludos cordiales,
JCB.

[Visitante]

Muchas gracias a todos por sus prontas respuestas! Les agradezco mucho. Una consulta JCB, porque usas $C_v$, si en este caso el gas no sufre de un proceso a volumen constante, por lo poco que se, $C_v$ es el calor especifico a volumen constante. Te agradeceria si me darias una mano en esto, saludos!

[JCB]

Muchas gracias a todos por sus prontas respuestas! Les agradezco mucho. Una consulta JCB, porque usas $C_v$, si en este caso el gas no sufre de un proceso a volumen constante, por lo poco que se, $C_v$ es el calor especifico a volumen constante. Te agradeceria si me darias una mano en esto, saludos!

Hola a tod@s.

La explicación argumentada y rigurosa, la encontrarás en algún texto de Termodinámica de referencia (por ejemplo el Çengel - Boles), en el apartado de gases ideales. La relación que he escrito ($\Delta U=nC_V\Delta T$), es válida para cualquier proceso.

Saludos cordiales,
JCB.

[JCB]

Hola a tod@s.

d) Aunque con las debidas reservas, al tratarse de un sistema cerrado (el sistema solo intercambia energía con el entorno), aplico el primer principio,

$\Delta U=Q+W$. Como el sistema solo recibe trabajo eléctrico del entorno, pero el sistema no realiza trabajo sobre el entorno y el sistema no intercambia calor con el entorno (es adiabático),

$\Delta U=W$,

$\Delta U_A+\Delta U_B=W=\dfrac{V^2}{R}t$,

$t=\dfrac{(\Delta U_A+\Delta U_B)R}{V^2}=4,74\ s$.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Después de mi error garrafal... a ver si compenso

Muchas gracias a todos por sus prontas respuestas! Les agradezco mucho. Una consulta JCB, porque usas $C_v$, si en este caso el gas no sufre de un proceso a volumen constante, por lo poco que se, $C_v$ es el calor especifico a volumen constante. Te agradeceria si me darias una mano en esto, saludos!

Fijate que la variación de energía interna de un gas ideal es función exclusiva de la temperatura y logicamente de la cantidad de materia del sistema n

Así en cualquier proceso la variación de Energía interna sería

$$\Delta U =nC\Delta T$$

donde C es una constante a determinar

pero si analizas el proceso isocoro entre las misma temperaturas .El volumen permanece constante por lo que el Trabajo realizado por el sistema es nulo y el calor entregado iguala a la variación de energía interna.

$$Q=\Delta U=nC_v\Delta T<br />$$

fijate quesi el salto de temperatura \delta T es el mismo y el numero de moles es el mismo las expresiones 1 y 2 son iguales

luego para cualquier proceso la variación de energía interna se calcula del mismo modo

$\Delta U =nC\Delta T=nC_v\Delta T$

el calor especifico que acompaña al calculo de la energía interna es el de volumen constante


$C=C_v$ para todo proceso

esto lo puedes encontrar como la Ley de Joule de los procesos termodinámicos.

Hola a tod@s.

d) Aunque con las debidas reservas, al tratarse de un sistema cerrado (el sistema solo intercambia energía con el entorno), aplico el primer principio,

una aclaración , Supongo que has querido decir

d) Aunque con las debidas reservas, al tratarse de un sistema cerrado, no intercambia masa (el sistema solo intercambia energía con el entorno), aplico el primer principio,

el primer principio es un principio de conservación de la energía y también es aplicable a sistemas abiertos adicionando un balance de masa o estequiométrico.
ni tampoco hay problema de mezclarlo con las ecuaciones de Bernoulli de la mecánica de Fluidos,

Salvo en las reacciones nucleares la masa se conserva siempre

$\Delta n =\dst\sum\limits_{i=1}^k\Delta n_i-\dst\sum\limits_{j=1}^l\Delta n_j$

$\Delta U =Q-W+\dst\sum\limits_{i=1}^k E_{(entrante _i)}-\dst\sum\limits_{j=1}^l E_{(saliente_j)}$

$E_{(entrante _i)}=n_i Ce_i\Delta T_i$

$E_{(saliente_j)}=n_j Ce_j\Delta T_j$

[JCB]

Hola a tod@s.

Aunque en el mensaje # 6 indiqué el tiempo que necesita la resistencia para generar el calor necesario, considerando un balance energético entre el sistema y el entorno, el ejercicio no acaba aquí, y el enunciado interroga sobre los trabajos en cada cámara.

Si ahora se considera el balance energético para cada cámara, se puede determinar el trabajo respectivo de la siguiente manera:

Para la cámara $A$, $\Delta U_A=Q_A-W_A=\Delta U_A+\Delta U_B-W_A$,

$W_A=\Delta U_B=1.702,39\ J$.

Para la cámara $B$, $\Delta U_B=\cancelto{0}{Q_B}-W_B$,

$W_B=-\Delta U_B=-1.702,39\ J$.

Alternativamente, también se puede hallar el trabajo en la cámara $B$, utilizando alguna de las expresiones del trabajo para un proceso adiabático, como por ejemplo

$W_B=\dfrac{nR\Delta T}{1-\gamma}=-1.702,39\ J$.

Finalmente $W_B=-W_A$.

Saludos cordiales,
JCB.