1r ciclo Conducción térmica en una esfera

[Stylinson 28]

Un bombillo de luz de 100 W genera 95 W de calor, que disipa a través del bulbo de vidrio que tiene un radio de 3 cm y un espesor de 1 mm. ¿Cuál es la diferencia de temperatura entre las superficies interna y externa del vidrio? La conductividad térmica es igual a 0.84J/s•m•C⁰

[Alriga]

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La Ley de Fourier de la conducción térmica dice que el flujo de calor es proporcional al gradiente de temperatura cambiado de signo:

$\vec q=-k\cdot \overrightarrow{\nabla T}$

Por simetría, el flujo en una esfera será radial:

$q=-k\cdot \dfrac{dT}{dr}$

El flujo, es la potencia calorífica por unidad de superficie:

$\dfrac{\dot Q}{S}=-k\cdot \dfrac{dT}{dr}$

Esfera:

$S=4\pi r^2$

Con lo cual:

$\dfrac{\dot Q}{4\pi r^2}=-k\cdot \dfrac{dT}{dr}$

Es una ecuación diferencial en variables separadas:

$\dfrac{\dot Q}{4\pi k}\cdot \dfrac{dr}{r^2}=-dT$

Integramos:

$\dst \dfrac{\dot Q}{4\pi k} \ \int_{r_1}^{r_2} \dfrac{dr}{r^2}=- \int_{T_1}^{T_2}dT$

$\dst \dfrac{\dot Q}{4\pi k} \left [ -\dfrac 1 r \right ]_{r_1}^{r_2}=- (T_2-T_1)$

Despejando la diferencia de temperatura que te pide el enunciado (1=interior de la esfera, 2=exterior)

$$T_1-T_2=\dfrac{\dot Q}{4 \pi k} \ \left ( \dfrac 1{r_1} - \dfrac 1{r_2} \right )$$

Ahora los datos que te da el enunciado:

$\dot Q=95 \ W \quad r_1=0.03 \ m \quad r_2=0.031 \ m \quad k=0.84 \ W/(m\cdot K)$

Se sustituyen para calcular la diferencia de temperatura entre las superficies de la esfera.

Saludos y de nuevo bienvenido.