Otras carreras Ecuación de Van der Waals

[Visitante]

Ola me dan la ecuación de estado de van der Waals

$(P + \frac{a}{v^2})(v - b) = RT$. (1)

siendo v el volumen molar y a y b constantes características del gas.

Me piden que, teniendo en cuenta que la capacidad calorífica isocórica $C_V$ de un gas que verifica esta ecuación es constante y haciendo uso de la relación:

$(\frac{\partial U}{\partial V})_T + P = T (\frac{\partial P}{\partial T})_V$ (2)

calcular la energía interna U y la diferencia $C_{p,m}- C_{V,m}$ para n moles de gas en función de T, v y n.


La verdad es que no sé ni por donde empezar, se me ocurre integrar para sacar U de la ecuación 2 pero no tiene pinta de parexer buena idea.

[Richard R Richard]

Hola fijate si el punto 10 te sirve de ayuda.

http://depa.fquim.unam.mx/amyd/archi...AALS_23294.pdf

[Visitante]

hmmm la verdad es que no me inspira mucho, lo seguiré intentando a ver si se me ocurre algo

[Guillem_dlc]

Hola

Dados:

$\left( P+\dfrac{a}{v^2}\right)(v-b)=RT,\quad P=\dfrac{RT}{v-b}-\dfrac{a}{v^2}$

$v=\dfrac{V}{n}$

$\left( \dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T+P=T\left( \dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_V$

(a) La energía interna es una función de la temperatura y del volumen, por lo que

$U=U(T,V)$

Por lo tanto,

$dU=\left( \dfrac{\partial U}{\partial T}\right)_V\, dT+\left( \dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T\, dV$
$=C_V\, dT+\left[ T\left( \dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_V-P\right]\, dV$

Utilizando la ecuación de estado

$P=\dfrac{RT}{v-b}-\dfrac{a}{v^2}$

obtenemos

$\left( \dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_V=\dfrac{R}{v-b}$
$T\left( \dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_V-P=\dfrac{RT}{v-b}-\left( \dfrac{RT}{v-b}-\dfrac{a}{v^2}\right)=\dfrac{a}{v^2}$

Por lo tanto,

$dU=C_V\, dT+\dfrac{a}{v^2}\, dV=C_V\, dT+\dfrac{an}{v^2}\, dv$
$U=\int C_V\, dT+\dfrac{an}{v^2}\, dv=C_VT-\dfrac{an}{v}+U_0$

(b)

$C_{P,m}-C_{V,m}=\left[ \left( \dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T+P\right] \left( \dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_P$
$\left( \dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_P=\dfrac{\partial (V,P)}{\partial (T,P)}=\dfrac{1}{\frac{\partial (T,P)}{\partial (V,P)}}=\dfrac{1}{\frac{\partial (T,P)}{\partial (T,V)}\cdot \frac{\partial (T,V)}{\partial (V,P)}}=-\dfrac{\frac{\partial (P,V)}{\partial (T,V)}}{\frac{\partial (T,P)}{\partial (T,V)}}=-\dfrac{\left( \frac{\partial P}{\partial T}\right)_V}{\left( \frac{\partial P}{\partial V}\right)_T}$
$\left( \dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_V=\dfrac{R}{v-b}$
$\left( \dfrac{\partial P}{\partial V}\right)_T=\left( \dfrac{\partial P}{\partial v}\right)_T \times \dfrac1n =-\dfrac{RT}{n(v-b)^2}+\dfrac{2a}{nv^3}$

Por lo tanto,

$C_{P,m}-C_{V,m}=\dfrac{RT}{v-b}\cdot \dfrac{R}{v-b}\cdot \dfrac{1}{\frac{RT}{n(v-b)^2}-\frac{2a}{nv^3}}=\dfrac{nR}{1-\frac{2a(v-b)^2}{RTv^3}}$

Saludos.

[Visitante]

Perfecto, muchas gracias, Lo único es que no entiendo de dónde viene la capacidad calorífica isocórica en esta ecuación. Podrías indicarmelo, muchas gracias.

$dU=\left( \dfrac{\partial U}{\partial T}\right)_V\, dT+\left( \dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T\, dV$
$=C_V\, dT+\left[ T\left( \dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_V-P\right]\, dV$

[Guillem_dlc]

La capacidad calorífica isocórica por definición

$C_V=\left( \dfrac{\delta Q}{dT}\right)_V$

La primera ley de la termodinámica dice

$\delta Q=dU+PdV=\left( \dfrac{\partial U}{\partial T}\right)_V\, dT+\left( \dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T\, dV+PdV$

Así que

$C_V=\left( \dfrac{\delta Q}{dT}\right)_V =\left( \dfrac{\partial U}{\partial T}\right)_V +\left[ \left( \dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T +P\right] \underbrace{\left( \dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_V }_0=\left( \dfrac{\partial U}{\partial T}\right)_V$