Gas encerrado en un cilindro dividido en dos compartimentos

[famaff]

Hola! Alguien me puede ayudar con este ejercicio?
Un cilindro situado verticalmente, de sección transversal S y altura 2h₀, esta dividido inicialmente en dos partes iguales por un embolo de masa m y espesor y capacidad calorífica despreciable. Cada una de las partes del cilindro
contiene un gas monoatómico a presión P₀ y temperatura T₀. Se lleva al embolo, mediante un mecanismo externo ,de manera suficientemente lenta como para que el proceso sea reversible, a la posición de equilibrio mecánico. Si la conductividad térmica de las paredes laterales del cilindro es perfecta (infinita) y el sistema se encuentra sumergido en un reservorio a temperatura T₀ constante:
muestre que, en la situación de equilibrio mecánico, la altura de la parte superior del cilindro está dada por la formula que esta en el archivo

[Richard R Richard]

Hola


veamos en un proceso isotérmico se cumple que $P_oV_o=P_AV_A=P_BV_B$

$V_A=Sh_a=Sh$

ademas $2h_o=h_b+h_a=h_b+h$

el equilibrio de fuerzas es

$mg=S(P_B-P_A)$

reemlazando igualdades

$\dfrac{mg}{S}=\dfrac{P_oh_o}{2h_o-h}-\dfrac{P_oh_o}{h}$

si $k=\dfrac{mg}{SP_o}<br />$
entonces

$k=\dfrac{h_o}{2h_o-h}-\dfrac{h_o}{h}$

$k=\dfrac{h_oh-(2h_o-h)h_o}{(2h_o-h)h}$

$k=\dfrac{2h_oh-2h_o^2}{2h_oh-h^2}$

$k=\dfrac{1-\dfrac{h_o}{h}}{1-\dfrac{h}{2h_o}}$

reordenando

$k(1-\dfrac{h}{2h_o})=1-\dfrac{h_o}{h}$

$k-\dfrac{kh}{2h_o}=1-\dfrac{h_o}{h}$

$0=-k+\dfrac{kh}{2h_o}+1-\dfrac{h_o}{h}$

$0=-h_o+(1-k)h+\dfrac{kh^2}{2h_o}$

resolvemos una cuadrática tipo $x=\dfrac {-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a \cdot c}}{ 2a}$

para despejar h

$h=\dfrac{k-1+\sqrt{(1-k)^2-4(-h_o)\dfrac{k}{2h_o}}}{\dfrac{2k}{2h_o}}$

$h=h_o\dfrac{k-1+\sqrt{(1-k)^2+2k}}{k}$

$h=h_o\left(1-\dfrac1k+\sqrt{1+\dfrac{1}{k^2}}\right)$

reemplazando lo que vale k


$h=h_o\left(1-\dfrac{Sp_o}{mg}+\sqrt{1+\left(\dfrac{Sp_o}{mg}\right)^2}\right)$ cqd

[famaff]

muchas gracias! me ayudaste mucho!