leyes de Gay Lussac

[China]

Buenos días, me surge una duda con las leyes de los gases y concretamente su expresión, se supone que por ejemplo la ley de Charles o primea le de Gay Lussac que hace referencia a la dilatación del gas a presión constante dice " Al aumentar la temperatura de los gases 1ºC todos dilatan la misma cantidad que es 1/273,15 veces su volumen inicial" siendo 1/273,15 el denominado coeficiente de dilatación denominado como $\alpha$, de modo que quedaría expresada así: $V=V_0(1+\alpha t)$ , siendo en esta ecuación t un incremento de temperatura. Ahora bien cuando se opera esta ecuación y definiendo una nueva escala de temperatura llegamos a la expresión más conocida de la ley de Charles $\frac {V_0}{T_0}=\frac{V}{T}$, pero en este desarrollo parece que se iguala $T_0=273,15$ y sin embargo al aplicar la formula si habla de condiciones iniciales sean cuales sean... la cuestión es que si por ejemplo tenemos un gas que a tiene un volumen de 25 l a 303 K y queremos hallar el volumen a 380 K, no sale lo mismo aplicando las dos formulas y sin embargo si tenemos 25 l a 273 K y queremos hallar el volumen a 380 K, si sale lo mismo aplicando las dos formulas, es decir son iguales si la temperatura inicial es de 0ºC. No se si he explicado correctamente mi duda, estas dos expresiones no deberían llevar a los mismos resultados??
Muchas gracias

[Alriga]

En la expresión:

$V=V_0 \left [ 1+ \alpha_T ( T-T_0)\right ]$

El coeficiente de dilatación volumétrico con la temperatura $\alpha_T$ de los gases ideales no es una constante independiente, tiene un valor diferente para cada temperatura, dado por la expresión:

$\alpha_{T_0}=\dfrac 1{T_0}$

Es decir $\alpha$ solo vale 1/273.15 cuando la temperatura inicial es 273.15 K

En tu ejemplo:

$V_1=V_0 \ \dfrac{T_1}{T_0}=25 \ \dfrac{380}{303}=31.35 \ lit$

$V=V_0 \left [ 1+ \alpha_T ( T-T_0)\right ] =25 \left [ 1+ \dfrac 1{303}( 380-303)\right ]= 31.35 \ lit$

La definición del coeficiente de dilatación volumétrico con la temperatura es:

$\alpha_T=\dfrac 1 V \left ( \dfrac{\partial V}{\partial T} \right )_p$

El subíndice "p" significa que se define a presión constante. La ley de los gases ideales nos dice que:

$V=\dfrac{n R T}p$

Sustituyendo, derivando y simplificando obtenemos que para gases ideales:

$\alpha_T=\dfrac 1{\dfrac{n R T}p} \cdot \dfrac{n R}p=\dfrac 1 T \ ,$ c.q.d.

Saludos.

[China]

Hola Alriga, entendí perfectamente lo que me explicaste.. pero entonces todos aquellos sitios (webs, no tengo libros) en los que dice que $\alpha$ es constante para los gases ideales es incorrecto no? porque precisamente es para los gases ideales para los que no se cumpliría la ecuación a otras temperaturas distintas de 0º no??

[Richard R Richard]

En la expresión:
...

$\alpha_{T_0}=\dfrac 1{T_0}$

...

Sustituyendo, derivando y simplificando obtenemos que para gases ideales:

$\alpha_T=\dfrac 1{\dfrac{n R T}p} \cdot \dfrac{n R}p=\dfrac 1 T \ ,$ c.q.d.

Hola Alriga, entendí perfectamente lo que me explicaste.. pero entonces todos aquellos sitios (webs, no tengo libros) en los que dice que $\alpha$ es constante para los gases ideales es incorrecto no? porque precisamente es para los gases ideales para los que no se cumpliría la ecuación a otras temperaturas distintas de 0º no??

Hola China , lo que te explica Alriga es que puedes definir un coeficiente $\alpha$ constante y diferente para resolver todos los problemas, calculado en base a la temperatura que tu escojas, por costumbre o norma se toma el correspondiente cero grado centigrados T=273.15K.

[China]

Entonces si cogemos T=273.15K. tenemos que coger el volumen a esa temperatura, es decir para aplicar la ecuación, si me dan un volumen inicial a 40 ºC y me piden el volumen a 100ºC, tendré que usar $\alpha= \frac {1}{313,15}$??

[JCB]

Entonces si cogemos T=273.15K. tenemos que coger el volumen a esa temperatura, es decir para aplicar la ecuación, si me dan un volumen inicial a 40 ºC y me piden el volumen a 100ºC, tendré que usar $\alpha= \frac {1}{313,15}$??

Hola a tod@s.

Eso es, China. Si partes de una $T_0=40\ ^{\circ}C=313,15\ K$, debes emplear $\alpha_{T_0}=\dfrac{1}{T_0}=\dfrac{1}{313,15}\ K^{-1}$.

$V=V_0[1+\alpha_{T_0}(T-T_0)]=1,19V_0$

Y alternativamente, utilizando la ley de Charles y Gay-Lussac,

$\dfrac{V}{T}=\dfrac{V_0}{T_0}$

$V=\dfrac{T}{T_0}V_0=1,19V_0$, llegarás al mismo resultado.

Saludos cordiales,
JCB.